ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 639 Алимов — Подробные Ответы

1. sin x sin 2x sin Зx =1/4 sin 4x;
2. sin4 x + cos4 x = 1/2 sin2 2x.

Задача 1:

$$\sin x \cdot \sin 2x \cdot \sin 3x = \frac{1}{4} \sin 4x;$$

Решение:

$$\begin{aligned} & \sin x \cdot \sin 2x \cdot \sin 3x = \frac{1}{4} \cdot 2 \sin 2x \cdot \cos 2x; \\ & \sin x \cdot \sin 2x \cdot \sin 3x = \frac{1}{2} \cdot 2 \sin x \cdot \cos x \cdot \cos 2x; \\ & \sin x \cdot (\cos x \cdot \cos 2x — \sin 2x \cdot \sin 3x) = 0; \\ & \sin x \cdot \left( \frac{\cos(x + 2x) + \cos(x — 2x)}{2} — \frac{\cos(2x — 3x) — \cos(2x + 3x)}{2} \right) = 0; \\ & \sin x \cdot \frac{\cos 3x + \cos x — \cos x + \cos 5x}{2} = 0; \\ & \sin x \cdot \frac{\cos 3x + \cos 5x}{2} = 0; \\ & \sin x \cdot \cos \frac{3x + 5x}{2} \cdot \cos \frac{3x — 5x}{2} = 0; \\ & \sin x \cdot \cos 4x \cdot \cos x = 0; \\ & \frac{1}{2} \sin 2x \cdot \cos 4x = 0; \end{aligned}$$

Первое уравнение:

$$\sin 2x = 0;$$ $$2x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \cdot \pi n = \frac{\pi n}{2};$$

Второе уравнение:

$$\cos 4x = 0;$$ $$4x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4};$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi n}{2}, \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}}$$

Задача 2:

$$\sin^4 x + \cos^4 x = \frac{1}{2} \cdot \sin^2 2x;$$

Решение:

$$\begin{aligned} & \sin^4 x + \cos^4 x = \frac{1}{2} \cdot 4 \sin^2 x \cdot \cos^2 x; \\ & \sin^4 x + \cos^4 x — 2 \sin^2 x \cdot \cos^2 x = 0; \\ & (\sin^2 x — \cos^2 x)^2 = 0; \\ & \sin^2 x — \cos^2 x = 0; \\ & -\cos 2x = 0; \\ & \cos 2x = 0; \\ & 2x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n; \\ & x = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}; \end{aligned}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}}$$

Задача 1:

$$\sin x \cdot \sin 2x \cdot \sin 3x = \frac{1}{4} \sin 4x$$

Шаг 1: Преобразуем правую часть уравнения

Перепишем уравнение:

$$\sin x \cdot \sin 2x \cdot \sin 3x = \frac{1}{4} \sin 4x$$

Теперь, используя стандартную тригонометрическую формулу для удвоенного угла для $\sin 2x$:

$$\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x$$

Получаем:

$$\sin x \cdot \sin 2x \cdot \sin 3x = \frac{1}{4} \cdot 2 \sin 2x \cdot \cos 2x$$

Упростим правую часть:

$$\sin x \cdot \sin 2x \cdot \sin 3x = \frac{1}{2} \sin 2x \cdot \cos 2x$$

Шаг 2: Преобразуем левую часть уравнения

Теперь попробуем преобразовать левую часть уравнения $\sin x \cdot \sin 2x \cdot \sin 3x$. Для этого используем формулы для произведения синусов. Применим формулу для $\sin A \cdot \sin B$:

$$\sin A \cdot \sin B = \frac{1}{2} \left( \cos(A — B) — \cos(A + B) \right)$$

Первым шагом, мы преобразуем $\sin x \cdot \sin 3x$:

$$\sin x \cdot \sin 3x = \frac{1}{2} \left( \cos(x — 3x) — \cos(x + 3x) \right) = \frac{1}{2} \left( \cos(-2x) — \cos(4x) \right)$$

Так как $\cos(-2x) = \cos(2x)$, это выражение становится:

$$\sin x \cdot \sin 3x = \frac{1}{2} \left( \cos 2x — \cos 4x \right)$$

Теперь умножаем это на $\sin 2x$:

$$\sin x \cdot \sin 2x \cdot \sin 3x = \frac{1}{2} \cdot \sin 2x \left( \cos 2x — \cos 4x \right)$$

Раскрываем скобки:

$$\sin x \cdot \sin 2x \cdot \sin 3x = \frac{1}{2} \left( \sin 2x \cdot \cos 2x — \sin 2x \cdot \cos 4x \right)$$

Шаг 3: Получаем новое уравнение

Теперь подставим эту форму в исходное уравнение:

$$\frac{1}{2} \left( \sin 2x \cdot \cos 2x — \sin 2x \cdot \cos 4x \right) = \frac{1}{2} \sin 2x \cdot \cos 2x$$

Убираем общий множитель $\frac{1}{2}$:

$$\sin 2x \cdot \cos 2x — \sin 2x \cdot \cos 4x = \sin 2x \cdot \cos 2x$$

Теперь вычитаем $\sin 2x \cdot \cos 2x$ из обеих сторон:

$$-\sin 2x \cdot \cos 4x = 0$$

Шаг 4: Решение уравнения

Итак, мы получили уравнение:

$$\sin 2x \cdot \cos 4x = 0$$

Это уравнение можно решить, если разберемся на два случая:

1. $\sin 2x = 0$
2. $\cos 4x = 0$

Шаг 5: Решаем первый случай $\sin 2x = 0$

Для $\sin 2x = 0$:

$$2x = \arcsin(0) + \pi n = \pi n$$ $$x = \frac{\pi n}{2}$$

Это решение для $x$ из первого случая.

Шаг 6: Решаем второй случай $\cos 4x = 0$

Для $\cos 4x = 0$:

$$4x = \arccos(0) + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$$ $$x = \frac{1}{4} \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$$

Это решение для $x$ из второго случая.

Ответ:

Объединяя оба результата, получаем:

$$\boxed{\frac{\pi n}{2}, \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}}$$

Задача 2:

$$\sin^4 x + \cos^4 x = \frac{1}{2} \cdot \sin^2 2x$$

Шаг 1: Преобразуем правую часть уравнения

Используем формулу для $\sin^2 2x$, которая равна:

$$\sin^2 2x = 4 \sin^2 x \cos^2 x$$

Теперь перепишем уравнение:

$$\sin^4 x + \cos^4 x = \frac{1}{2} \cdot 4 \sin^2 x \cos^2 x$$ $$\sin^4 x + \cos^4 x = 2 \sin^2 x \cos^2 x$$

Шаг 2: Упрощаем левую часть уравнения

Теперь воспользуемся стандартной формулой для разности квадратов:

$$\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 — 2 \sin^2 x \cos^2 x$$

Так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, у нас получается:

$$\sin^4 x + \cos^4 x = 1 — 2 \sin^2 x \cos^2 x$$

Теперь подставим это в уравнение:

$$1 — 2 \sin^2 x \cos^2 x = 2 \sin^2 x \cos^2 x$$

Шаг 3: Решаем уравнение

Переносим все элементы на одну сторону:

$$1 — 2 \sin^2 x \cos^2 x — 2 \sin^2 x \cos^2 x = 0$$ $$1 — 4 \sin^2 x \cos^2 x = 0$$ $$4 \sin^2 x \cos^2 x = 1$$ $$\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{4}$$

Шаг 4: Используем формулу для $\sin^2 2x$

Заменим $\sin^2 x \cos^2 x$ через $\sin^2 2x$:

$$\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{4} \sin^2 2x$$

Тогда уравнение становится:

$$\frac{1}{4} \sin^2 2x = \frac{1}{4}$$

Умножим обе стороны на 4:

$$\sin^2 2x = 1$$

Шаг 5: Решаем уравнение $\sin 2x = \pm 1$

Для $\sin 2x = \pm 1$, получаем:

$$2x = \arcsin(\pm 1) + \pi n = \pm \frac{\pi}{2} + \pi n$$ $$x = \frac{1}{2} \left( \pm \frac{\pi}{2} + \pi n \right)$$ $$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \quad \text{или} \quad x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ:

Объединяем все решения:

$$\boxed{\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}}$$