ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 944 Алимов — Подробные Ответы

Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

1. f(x) =lnx — x на отрезке [1/2;3];
2. f(x) =x + e^-x на отрезке [-1;2];
3. f(x) =2cosx-cos2x на отрезке [0;пи].

1) $f(x) = \ln x — x$ на отрезке $\left[\frac{1}{2}; 3\right]$;

$f'(x) = (\ln x)’ — x = \frac{1}{x} — 1$;

Точки экстремума:

$$\frac{1}{x} — 1 = 0;$$ $$1 — x = 0, \text{отсюда } x = 1;$$

Значения функции:

$$y\left(\frac{1}{2}\right) = \ln \frac{1}{2} — \frac{1}{2} = -\ln 2 — 0,5;$$ $$y(1) = \ln 1 — 1 = \ln e^0 — 1 = 0 — 1 = -1;$$ $$y(3) = \ln 3 — 3;$$

Ответ: $y_{\min} = \ln 3 — 3$; $y_{\max} = -1$.

2) $f(x) = x + e^{-x}$ на отрезке $[-1; 2]$;

$f'(x) = (x)’ + (e^{-x})’ = 1 — e^{-x}$;

Точки экстремума:

$$1 — e^{-x} = 0;$$ $$e^{-x} = 1;$$ $$e^{-x} = e^0, \text{отсюда } x = 0;$$

Значения функции:

$$y(-1) = -1 + e^1 = e — 1;$$ $$y(0) = 0 + e^0 = 0 + 1 = 1;$$ $$y(2) = 2 + e^{-2} = 2 + \frac{1}{e};$$

Ответ: $y_{\min} = 1$; $y_{\max} = 2 + \frac{1}{e}$.

3) $f(x) = 2 \cos x — \cos 2x$ на отрезке $[0; \pi]$;

$f'(x) = 2 \cdot (\cos x)’ — (\cos 2x)’$;

$$f'(x) = -2 \sin x + 2 \sin 2x = 2 \cdot (\sin 2x — \sin x);$$

Стационарные точки:

$$\sin 2x — \sin x = 0;$$ $$2 \sin x \cdot \cos x — \sin x = 0;$$ $$\sin x \cdot (2 \cos x — 1) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin x = 0;$$ $$x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$

Второе уравнение:

$$2 \cos x — 1 = 0;$$ $$2 \cos x = 1;$$ $$\cos x = \frac{1}{2};$$ $$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$

Значения функции:

$$y(0) = 2 \cos 0 — \cos 0 = 2 \cdot 1 — 1 = 1;$$ $$y\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \cdot \cos \frac{\pi}{3} — \cos \frac{2\pi}{3} = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 + 0,5 = 1,5;$$ $$y(\pi) = 2 \cdot \cos \pi — \cos 2\pi = 2 \cdot (-1) — 1 = -2 — 1 = -3;$$

Ответ: $y_{\min} = -3$; $y_{\max} = 1,5$.

1) $f(x) = \ln x — x$, на отрезке $\left[\frac{1}{2}; 3\right]$

Шаг 1. Найдём производную

Функция состоит из двух слагаемых:

• производная от $\ln x$ — это $\frac{1}{x}$;
• производная от $-x$ — это $-1$.

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(\ln x — x) = \frac{1}{x} — 1$$

Шаг 2. Найдём точки экстремума

Экстремумы находятся там, где производная равна нулю:

$$f'(x) = \frac{1}{x} — 1 = 0$$

Решим уравнение:

$$\frac{1}{x} = 1 \Rightarrow x = 1$$

Проверим: $x = 1 \in \left[\frac{1}{2}; 3\right]$ — подходит.

Шаг 3. Посчитаем значения функции в концах отрезка и в точке экстремума

Найдём значения функции $f(x) = \ln x — x$:

При $x = \frac{1}{2}$:

$$f\left(\frac{1}{2}\right) = \ln \left(\frac{1}{2}\right) — \frac{1}{2} = -\ln 2 — 0.5$$

При $x = 1$:

$$f(1) = \ln 1 — 1 = 0 — 1 = -1$$

При $x = 3$:

$$f(3) = \ln 3 — 3$$

Шаг 4. Сравниваем значения

Численно (приближённо):

• $\ln 2 \approx 0.693 \Rightarrow -\ln 2 — 0.5 \approx -1.193$
• $\ln 3 \approx 1.099 \Rightarrow \ln 3 — 3 \approx -1.901$

$$\boxed{y_{\min} = \ln 3 — 3}, \quad \boxed{y_{\max} = -1}$$

2) $f(x) = x + e^{-x}$, на отрезке $[-1; 2]$

Шаг 1. Найдём производную

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x + e^{-x}) = 1 — e^{-x}$$

Шаг 2. Найдём критические точки

Равенство производной нулю:

$$f'(x) = 1 — e^{-x} = 0 \Rightarrow e^{-x} = 1$$ $$\Rightarrow -x = 0 \Rightarrow x = 0$$

Точка входит в отрезок $[-1; 2]$.

Шаг 3. Значения функции в концах и в точке экстремума

$x = -1$:

$$f(-1) = -1 + e^{1} = e — 1$$

$x = 0$:

$$f(0) = 0 + e^0 = 1$$

$x = 2$:

$$f(2) = 2 + e^{-2} = 2 + \frac{1}{e^2}$$

Шаг 4. Приблизительная оценка

$$e \approx 2.718 \Rightarrow e^2 \approx 7.389, \quad \frac{1}{e^2} \approx 0.135$$ $$f(-1) \approx 2.718 — 1 = 1.718, \quad f(2) \approx 2 + 0.135 = 2.135$$ $$\boxed{y_{\min} = 1}, \quad \boxed{y_{\max} = 2 + \frac{1}{e^2}}$$

3) $f(x) = 2 \cos x — \cos 2x$, на отрезке $[0; \pi]$

Шаг 1. Найдём производную

$$f(x) = 2 \cos x — \cos 2x$$

Применим правила:

• $(\cos x)’ = -\sin x$
• $(\cos 2x)’ = -2 \sin 2x$

$$f'(x) = 2 \cdot (-\sin x) — (-2 \sin 2x) = -2 \sin x + 2 \sin 2x$$ $$f'(x) = 2(\sin 2x — \sin x)$$

Шаг 2. Найдём стационарные точки

$$\sin 2x — \sin x = 0$$

Применим формулу:

$$\sin A — \sin B = 2 \sin \left( \frac{A — B}{2} \right) \cos \left( \frac{A + B}{2} \right)$$

Но здесь лучше пойти другим путём — через тригонометрическую формулу:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x \Rightarrow 2 \sin x \cos x — \sin x = 0$$ $$\sin x (2 \cos x — 1) = 0$$

Решим по отдельности:

1. $\sin x = 0 \Rightarrow x = 0, \pi$ (в пределах отрезка)
2. $2 \cos x — 1 = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{3}$ (в отрезке)

Шаг 3. Посчитаем значения функции в найденных точках

Функция:

$$f(x) = 2 \cos x — \cos 2x$$

$x = 0$:

$$f(0) = 2 \cdot 1 — 1 = 1$$

$x = \frac{\pi}{3}$:

$$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}, \quad \cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$$ $$f\left( \frac{\pi}{3} \right) = 2 \cdot \frac{1}{2} — (-\frac{1}{2}) = 1 + \frac{1}{2} = 1.5$$

$x = \pi$:

$$\cos \pi = -1, \quad \cos 2\pi = 1$$ $$f(\pi) = 2 \cdot (-1) — 1 = -2 — 1 = -3$$

Шаг 4. Ответ

$$\boxed{y_{\min} = -3}, \quad \boxed{y_{\max} = 1.5}$$

Итоговые ответы:

1) $f(x) = \ln x — x$:

$$\boxed{y_{\min} = \ln 3 — 3}, \quad \boxed{y_{\max} = -1}$$

2) $f(x) = x + e^{-x}$:

$$\boxed{y_{\min} = 1}, \quad \boxed{y_{\max} = 2 + \frac{1}{e^2}}$$

3) $f(x) = 2 \cos x — \cos 2x$:

$$\boxed{y_{\min} = -3}, \quad \boxed{y_{\max} = 1.5}$$