ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 606 Алимов — Подробные Ответы

С помощью микрокалькулятора решить уравнение:

1. sin х = 0,65;
2. sin х= -0,31.

1. $\sin x = 0,65$;
   $x = (-1)^n \cdot \arcsin 0,65 + \pi n$;
   $x \approx (-1)^n \cdot 0,7075 + \pi n$
2. $\sin x = -0,31$;
   $x = (-1)^n \cdot (-\arcsin 0,31) = \pi n$;
   $x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin 0,31 + \pi n$;
   $x \approx (-1)^{n+1} \cdot 0,3151 + \pi n$

Задача 1: $\sin x = 0,65$

1. Исходные данные:

   $$\sin x = 0,65.$$

   Необходимо найти все значения $x$, которые удовлетворяют этому уравнению.

2. Арксинус и основной интервал:
   Из тригонометрического тождества $\sin x = 0,65$, мы можем выразить $x$ как арксинус значения 0,65:

   $$x = \arcsin 0,65.$$

   Однако важно помнить, что арксинус $\arcsin y$ имеет значение только в интервале $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, так что:

   $$x = \arcsin 0,65 \quad \text{находится в интервале} \quad \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right].$$

3. Нахождение арксинуса:
   Используем калькулятор или таблицу значений для арксинуса:

   $$\arcsin 0,65 \approx 0,7075.$$

   Таким образом, одно из решений $x = 0,7075$.

4. Все решения уравнения:
   Уравнение $\sin x = 0,65$ имеет бесконечно много решений, так как синус функции периодичен с периодом $2\pi$. Поэтому, чтобы учесть все возможные значения $x$, используем общее решение для синуса:

   $$x = (-1)^n \cdot \arcsin 0,65 + \pi n,$$

   где $n$ — целое число, которое учитывает все возможные циклические значения угла на окружности.

5. Приближенные значения:
   Подставив значение $\arcsin 0,65 \approx 0,7075$, получаем:

   $$x \approx (-1)^n \cdot 0,7075 + \pi n.$$

Задача 2: $\sin x = -0,31$

1. Исходные данные:

   $$\sin x = -0,31.$$

   Необходимо найти все значения $x$, которые удовлетворяют этому уравнению.

2. Арксинус для отрицательного значения:
   В отличие от первого случая, синус отрицателен, поэтому сначала определим $x$ через арксинус, но с учетом знака:

   $$x = \arcsin(-0,31).$$

   Поскольку функция арксинуса $\arcsin y$ возвращает значения в интервале $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, то:

   $$\arcsin(-0,31) = -\arcsin(0,31).$$

   Это означает, что $x = -\arcsin(0,31)$, а следовательно, $x$ принимает отрицательное значение, соответствующее углу в четверти, где синус отрицателен.

3. Нахождение арксинуса:
   Используем калькулятор или таблицу значений для арксинуса:

   $$\arcsin(0,31) \approx 0,3151.$$

   Следовательно:

   $$x = -0,3151.$$

4. Все решения уравнения:
   Уравнение $\sin x = -0,31$ также имеет бесконечно много решений. Чтобы учесть все циклические значения $x$, использующееся общее решение для синуса, учитывающее периодичность функции:

   $$x = (-1)^n \cdot (-\arcsin 0,31) + \pi n = (-1)^n \cdot (-0,3151) + \pi n.$$

   Так как минус перед арксинусом можно вынести:

   $$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin 0,31 + \pi n.$$

5. Приближенные значения:
   Подставив значение $\arcsin 0,31 \approx 0,3151$, получаем:

   $$x \approx (-1)^{n+1} \cdot 0,3151 + \pi n.$$

Итоговые ответы:

1. Для $\sin x = 0,65$ решения имеют вид:

   $$x = (-1)^n \cdot \arcsin 0,65 + \pi n,$$

   или приближенно:

   $$x \approx (-1)^n \cdot 0,7075 + \pi n.$$

2. Для $\sin x = -0,31$ решения имеют вид:

   $$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin 0,31 + \pi n,$$

   или приближенно:

   $$x \approx (-1)^{n+1} \cdot 0,3151 + \pi n.$$