ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 675 Алимов — Подробные Ответы

1. sin x + sin 2x + sin Sx = 0;
2. cos x — cos Sx = cos 2x — cos 4x.

$\mathrm{1.\; sin}x+\sin 2x+\sin 3x=0$;

$2\cdot \sin \frac{x+3x}{2}\cdot \cos \frac{x-3x}{2}+\sin 2x=0$;

$2\cdot \sin \frac{4x}{2}\cdot \cos (-\frac{2x}{2})+\sin 2x=0$;

$2\cdot \sin 2x\cdot \cos x+\sin 2x=0$;

$\sin 2x\cdot (2\cos x+1)=0$;

Первое уравнение:

$\sin 2x=0$;

$2x=\arcsin 0+\pi n=\pi n$;

$x=\frac{1}{2}\cdot \pi n=\frac{\pi n}{2}$;

Второе уравнение:

$2\cos x+1=0$;

$2\cos x=-1$;

$\cos x=-\frac{1}{2}$;

$x=\pm (\pi -\arccos \frac{1}{2})+2\pi n=\pm (\pi -\frac{\pi }{3})+2\pi n=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n$;

Ответ: $\frac{\pi n}{2};\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n$.

$\mathrm{2.\; cos}x-\cos 3x=\cos 2x-\cos 4x$;

$-2\cdot \sin \frac{x+3x}{2}\cdot \sin \frac{x-3x}{2}=-2\cdot \sin \frac{2x+4x}{2}\cdot \sin \frac{2x-4x}{2}$;

$\sin \frac{4x}{2}\cdot \sin \left(\frac{-2x}{2}\right)=\sin \frac{6x}{2}\cdot \sin \left(\frac{-2x}{2}\right)$;

$-\sin 2x\cdot \sin x=-\sin 3x\cdot \sin x$;

$\sin 2x\cdot \sin x-\sin 3x\cdot \sin x=0$;

$\sin x\cdot (\sin 2x-\sin 3x)=0$;

$\sin x\cdot 2\cdot \sin \frac{2x-3x}{2}\cdot \cos \frac{2x+3x}{2}=0$;

$2\sin x\cdot \sin (-\frac{x}{2})\cdot \cos \frac{5x}{2}=0$;

$-2\cdot \sin x\cdot \sin \frac{x}{2}\cdot \cos \frac{5x}{2}=0$;

Первое уравнение:

$\sin x=0$;

$x=\arcsin 0+\pi n=\pi n$;

Второе уравнение:

$\sin \frac{x}{2}=0$;

$\frac{x}{2}=\arcsin 0+\pi n=\pi n$;

$x=2\pi n$;

Третье уравнение:

$\cos \frac{5x}{2}=0$;

$\frac{5x}{2}=\arccos 0+\pi n=\frac{\pi }{2}+\pi n$;

$x=\frac{2}{5}\cdot (\frac{\pi }{2}+\pi n)=\frac{\pi }{5}+\frac{2\pi n}{5}$;

Ответ: $\pi n;\frac{\pi }{5}+\frac{2\pi n}{5}$.

Часть 1.

Дано уравнение:

$$\sin x+\sin 2x+\sin 3x=0.$$

Шаг 1: Преобразуем сумму синусов с помощью формул суммы

Используем формулу для суммы двух синусов:

$$\sin A+\sin B=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}\mathrm{.}$$

Выделим в нашем выражении сначала сумму $\sin x+\sin 3x$:

$$\sin x+\sin 3x=2\sin \frac{x+3x}{2}\cos \frac{x-3x}{2}=2\sin 2x\cdot \cos (-x)\mathrm{.}$$

Пояснение:

• $\frac{x+3x}{2}=\frac{4x}{2}=2x$,
• $\frac{x-3x}{2}=\frac{-2x}{2}=-x$.

Так как $\cos (-x)=\cos x$, потому что косинус — чётная функция.

Таким образом,

$$\sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x\mathrm{.}$$

Подставим обратно:

$$\sin x+\sin 2x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x+\sin 2x=0.$$

Шаг 2: Вынесем $\sin 2x$ за скобки

$$2\sin 2x\cos x+\sin 2x=\sin 2x(2\cos x+1)=0.$$

Шаг 3: Решаем уравнение произведения

Чтобы произведение было равно нулю, достаточно, чтобы один из множителей был равен нулю:

1. $\sin 2x=0$,
2. $2\cos x+1=0$.

Первое уравнение:

$$\sin 2x=0.$$

Напомним, что $\sin \theta =0$ при $\theta =\pi n$, где $n\in \mathbb{Z}$.

Отсюда:

$$2x=\pi n⟹x=\frac{\pi n}{2}\mathrm{.}$$

Второе уравнение:

$$2\cos x+1=0⟹2\cos x=-1⟹\cos x=-\frac{1}{2}\mathrm{.}$$

Шаг 4: Решаем уравнение $\cos x=-\frac{1}{2}$

Из знаний о значениях косинуса на тригонометрическом круге:

• $\cos x=\frac{1}{2}$ при $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n$,
• Тогда $\cos x=-\frac{1}{2}$ при $x=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$ и $x=-\frac{2\pi }{3}$, с периодом $2\pi$.

Итого:

$$x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$$

Ответ для части 1:

$$x=\frac{\pi n}{2};x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$$

Часть 2.

Дано уравнение:

$$\cos x-\cos 3x=\cos 2x-\cos 4x\mathrm{.}$$

Шаг 1: Применяем формулу разности косинусов

Формула разности косинусов:

$$\cos A-\cos B=-2\sin \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}\mathrm{.}$$

Применим её к обеим частям уравнения:

$$\cos x-\cos 3x=-2\sin \frac{x+3x}{2}\sin \frac{x-3x}{2}=-2\sin 2x\sin (-x),$$$$\cos 2x-\cos 4x=-2\sin \frac{2x+4x}{2}\sin \frac{2x-4x}{2}=-2\sin 3x\sin (-x)\mathrm{.}$$

Шаг 2: Подставляем в уравнение

$$-2\sin 2x\sin (-x)=-2\sin 3x\sin (-x)\mathrm{.}$$

Шаг 3: Упрощаем

Так как $\sin (-x)=-\sin x$, то:

$$-2\sin 2x(-\sin x)=-2\sin 3x(-\sin x),$$$$2\sin 2x\sin x=2\sin 3x\sin x,$$

или

$$2\sin 2x\sin x-2\sin 3x\sin x=0.$$

Вынесем $2\sin x$ за скобки:

$$2\sin x(\sin 2x-\sin 3x)=0.$$

Шаг 4: Делим на 2 (число не влияет на корни):

$$\sin x(\sin 2x-\sin 3x)=0.$$

Шаг 5: Рассмотрим уравнение как произведение двух множителей

Чтобы произведение было нулём, достаточно, чтобы хотя бы один множитель равнялся нулю.

• $\sin x=0$,
• $\sin 2x-\sin 3x=0$.

Первое уравнение:

$$\sin x=0.$$$$x=\pi n,n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$$

Второе уравнение:

$$\sin 2x=\sin 3x\mathrm{.}$$

Используем формулу разности синусов:

$$\sin A-\sin B=2\cos \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}\mathrm{.}$$

Тогда

$$\sin 2x-\sin 3x=2\cos \frac{2x+3x}{2}\sin \frac{2x-3x}{2}=2\cos \frac{5x}{2}\sin (-\frac{x}{2})\mathrm{.}$$

Пусть

$$2\cos \frac{5x}{2}\sin (-\frac{x}{2})=0.$$

Так как $\sin (-\theta )=-\sin \theta$, то

$$2\cos \frac{5x}{2}(-\sin \frac{x}{2})=-2\cos \frac{5x}{2}\sin \frac{x}{2}=0.$$

Шаг 6: Теперь у нас три уравнения

$$\sin x=0,$$$$\sin \frac{x}{2}=0,$$$$\cos \frac{5x}{2}=0.$$

Решаем каждое из них по отдельности:

$\sin x=0$

$$x=\pi n,n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$$

$\sin \frac{x}{2}=0$

$$\frac{x}{2}=\pi n,n\in \mathbb{Z}⟹x=2\pi n\mathrm{.}$$

$\cos \frac{5x}{2}=0$

Косинус равен нулю при углах:

$$\theta =\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$$

Отсюда:

$$\frac{5x}{2}=\frac{\pi }{2}+\pi n⟹x=\frac{2}{5}(\frac{\pi }{2}+\pi n)=\frac{\pi }{5}+\frac{2\pi n}{5}\mathrm{.}$$

Ответ для части 2:

$$x=\pi n;x=2\pi n;x=\frac{\pi }{5}+\frac{2\pi n}{5},n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$$

Итоговый ответ:

Для уравнения $\sin x+\sin 2x+\sin 3x=0$:

$$x=\frac{\pi n}{2};x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n\mathrm{.}$$

Для уравнения $\cos x-\cos 3x=\cos 2x-\cos 4x$:

$$x=\pi n;x=2\pi n;x=\frac{\pi }{5}+\frac{2\pi n}{5}\mathrm{.}$$