ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 278 Алимов — Подробные Ответы

1. log1/2(4-x);
2. log0,2(7-x);
3. log6(1/(1-2x));
4. log8(5/(2x-1));
5. log1/4(-x2);
6. log0,7(-2×3).

Логарифм вида $\log_{a} b$, где $a > 0$ и $a \neq 1$, определен при $b > 0$.

1) $\log_{\frac{1}{2}}(4 — x)$

Выражение имеет смысл при: $4 — x > 0;$ $-x > -4, \text{ отсюда } x < 4;$

Ответ: $x < 4$.

2) $\log_{0.2}(7 — x)$

Выражение имеет смысл при: $7 — x > 0;$ $-x > -7, \text{ отсюда } x < 7;$

Ответ: $x < 7$.

3) $\log_{6} \frac{1}{1 — 2x}$

Выражение имеет смысл при: $\frac{1}{1 — 2x} > 0;$ $1 — 2x > 0;$ $-2x > -1, \text{ отсюда } x < 0.5;$

Ответ: $x < 0.5$.

4) $\log_{8} \frac{5}{2x — 1}$

Выражение имеет смысл при: $\frac{5}{2x — 1} > 0;$ $2x — 1 > 0;$ $2x > 1, \text{ отсюда } x > 0.5;$

Ответ: $x > 0.5$.

5) $\log_{\frac{1}{4}}(-x^{2})$

Выражение имеет смысл при: $-x^{2} > 0;$ $x^{2} < 0 \quad \text{(корней нет)};$

Ответ: $x \in \varnothing$.

6) $\log_{0.7}(-2x^{3})$

Выражение имеет смысл при: $-2x^{3} > 0;$ $2x^{3} < 0;$ $x^{3} < 0, \text{ отсюда } x < 0;$

Ответ: $x < 0$.

Логарифм вида $\log_{a} b$, где $a > 0$ и $a \neq 1$, определен при $b > 0$.

1) $\log_{\frac{1}{2}}(4 — x)$

Мы должны найти при каких значениях $x$ выражение $\log_{\frac{1}{2}}(4 — x)$ имеет смысл.

Шаг 1: Условие существования логарифма
Логарифм существует, если аргумент функции $4 — x$ больше нуля:

$$4 — x > 0.$$

Шаг 2: Решаем неравенство
Чтобы решить неравенство, перенесем $x$ в правую часть:

$$-x > -4.$$

Теперь, умножив обе части на $-1$ (и помня, что при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется), получаем:

$$x < 4.$$

Ответ: $x < 4$.

2) $\log_{0.2}(7 — x)$

Здесь нам нужно найти область определения логарифма $\log_{0.2}(7 — x)$.

Шаг 1: Условие существования логарифма
Логарифм существует, если аргумент $7 — x$ больше нуля:

$$7 — x > 0.$$

Шаг 2: Решаем неравенство
Переносим $x$ в правую часть:

$$-x > -7.$$

Умножив обе части на $-1$ (меняется знак неравенства):

$$x < 7.$$

Ответ: $x < 7$.

3) $\log_{6} \frac{1}{1 — 2x}$

Нам нужно найти область определения выражения $\log_{6} \frac{1}{1 — 2x}$.

Шаг 1: Условие существования логарифма
Логарифм существует, если аргумент $\frac{1}{1 — 2x}$ больше нуля:

$$\frac{1}{1 — 2x} > 0.$$

Шаг 2: Условие для дроби
Чтобы дробь была положительной, знаменатель должен быть положительным:

$$1 — 2x > 0.$$

Шаг 3: Решаем неравенство
Переносим $2x$ в правую часть:

$$-2x > -1.$$

Теперь умножаем обе части на $-1$ (и не забываем сменить знак неравенства):

$$x < 0.5.$$

Ответ: $x < 0.5$.

4) $\log_{8} \frac{5}{2x — 1}$

Найдем область определения выражения $\log_{8} \frac{5}{2x — 1}$.

Шаг 1: Условие существования логарифма
Логарифм существует, если аргумент $\frac{5}{2x — 1}$ больше нуля:

$$\frac{5}{2x — 1} > 0.$$

Шаг 2: Условие для дроби
Чтобы дробь была положительной, знаменатель должен быть положительным:

$$2x — 1 > 0.$$

Шаг 3: Решаем неравенство
Переносим $1$ в правую часть:

$$2x > 1.$$

Делим обе части на 2:

$$x > 0.5.$$

Ответ: $x > 0.5$.

5) $\log_{\frac{1}{4}}(-x^{2})$

Нам нужно найти область определения выражения $\log_{\frac{1}{4}}(-x^{2})$.

Шаг 1: Условие существования логарифма
Логарифм существует, если аргумент $-x^{2}$ больше нуля:

$$-x^{2} > 0.$$

Шаг 2: Анализ неравенства
Мы знаем, что для всех значений $x$, $x^{2} \geq 0$, то есть квадрат любого числа всегда неотрицателен. Следовательно, $-x^{2} \leq 0$, и не может быть больше нуля.

Таким образом, для этого выражения не существует значений $x$, которые удовлетворяют неравенству $-x^{2} > 0$.

Ответ: $x \in \varnothing$ (решений нет).

6) $\log_{0.7}(-2x^{3})$

Нам нужно найти область определения выражения $\log_{0.7}(-2x^{3})$.

Шаг 1: Условие существования логарифма
Логарифм существует, если аргумент $-2x^{3}$ больше нуля:

$$-2x^{3} > 0.$$

Шаг 2: Решаем неравенство
Чтобы решить неравенство, делим обе части на $-2$ (и помним, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется):

$$x^{3} < 0.$$

Шаг 3: Решаем для $x$
Для куба числа $x^{3}$ быть меньше нуля можно только в случае, если $x$ само меньше нуля:

$$x < 0.$$

Ответ: $x < 0$.

Итоги:

1. $\log_{\frac{1}{2}}(4 — x) \quad \Rightarrow \quad x < 4$
2. $\log_{0.2}(7 — x) \quad \Rightarrow \quad x < 7$
3. $\log_{6} \frac{1}{1 — 2x} \quad \Rightarrow \quad x < 0.5$
4. $\log_{8} \frac{5}{2x — 1} \quad \Rightarrow \quad x > 0.5$
5. $\log_{\frac{1}{4}}(-x^{2}) \quad \Rightarrow \quad x \in \varnothing$
6. $\log_{0.7}(-2x^{3}) \quad \Rightarrow \quad x < 0$