ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1601 Алимов — Подробные Ответы

2sinx/(cos-cos3x) — 1/3 = 4sin2(x+пи/4).

Решить уравнение:

$$\frac{2 \sin x}{\cos x — \cos 3x} — \frac{1}{3} = 4 \sin^2 \left( x + \frac{\pi}{4} \right);$$ $$\frac{2 \sin x}{-2 \cdot \sin \frac{x+3x}{2} \cdot \sin \frac{x-3x}{2}} — \frac{1}{3} = 4 \cdot \frac{1 — \cos \left( 2x + \frac{\pi}{2} \right)}{2};$$ $$\frac{\sin x}{\sin 2x \cdot \sin x} — \frac{1}{3} = 2 (1 + \sin 2x);$$ $$\frac{1}{\sin 2x} — \frac{1}{3} — (2 + 2 \sin 2x) = 0;$$ $$\frac{3 — \sin 2x — 3 \sin 2x \cdot (2 + 2 \sin 2x)}{3 \sin 2x} = 0;$$ $$3 — \sin 2x — 6 \sin 2x — 6 \sin^2 2x = 0;$$ $$6 \sin^2 2x + 7 \sin 2x — 3 = 0;$$

Пусть $y = \sin 2x$, тогда:

$$6y^2 + 7y — 3 = 0;$$ $$D = 7^2 + 4 \cdot 6 \cdot 3 = 49 + 72 = 121, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{-7 — 11}{2 \cdot 6} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2};$$ $$y_2 = \frac{-7 + 11}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3};$$

Первое уравнение:

$$\sin 2x = -\frac{3}{2} \quad \text{корней нет;}$$

Второе уравнение:

$$\sin 2x = \frac{1}{3};$$ $$2x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{3} + \pi n;$$ $$x = (-1)^n \cdot \frac{1}{2} \arcsin \frac{1}{3} + \frac{\pi n}{2};$$

Выражение имеет смысл при:

$$\sin x \neq 0;$$ $$x \neq \arcsin 0 + \pi n \neq \pi n;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\sin 3x \neq 0;$$ $$3x \neq \arcsin 0 + \pi n \neq \pi n;$$ $$x \neq \frac{\pi n}{3};$$

Ответ:

$$(-1{)}^n\cdot \frac{1}{2}\arcsin \frac{1}{3}+\frac{\pi n}{2}\mathrm{.}$$

Дано уравнение:

$$\frac{2 \sin x}{\cos x — \cos 3x} — \frac{1}{3} = 4 \sin^2 \left( x + \frac{\pi}{4} \right)$$

Шаг 1: Преобразование выражений в уравнении

1.1 Используем тригонометрические тождества

Начнем с приведения выражений, используя тригонометрические тождества. Сначала преобразуем выражение $\cos x — \cos 3x$.

Используем формулу разности косинусов:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \sin \left( \frac{A-B}{2} \right)$$

Для $A = x$ и $B = 3x$:

$$\cos x — \cos 3x = -2 \sin \left( \frac{x + 3x}{2} \right) \sin \left( \frac{x — 3x}{2} \right) = -2 \sin 2x \sin(-x)$$

Так как $\sin(-x) = -\sin x$, получаем:

$$\cos x — \cos 3x = 2 \sin 2x \sin x$$

1.2 Подставляем в уравнение

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

$$\frac{2 \sin x}{2 \sin 2x \sin x} — \frac{1}{3} = 4 \sin^2 \left( x + \frac{\pi}{4} \right)$$

Упрощаем:

$$\frac{2 \sin x}{2 \sin 2x \sin x} = \frac{1}{\sin 2x}$$

Тогда уравнение примет вид:

$$\frac{1}{\sin 2x} — \frac{1}{3} = 4 \sin^2 \left( x + \frac{\pi}{4} \right)$$

1.3 Преобразуем правую часть

Теперь рассмотрим правую часть уравнения. Используем тригонометрическое тождество для синуса суммы:

$$\sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{2}}$$

Тогда:

$$\sin^2 \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{(\sin x + \cos x)^2}{2}$$

Развернем квадрат:

$$\sin^2 \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x}{2}$$

Используя тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем:

$$\sin^2 \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1 + 2 \sin x \cos x}{2}$$

Подставим это в исходное уравнение:

$$\frac{1}{\sin 2x} — \frac{1}{3} = 4 \cdot \frac{1 + 2 \sin x \cos x}{2}$$

1.4 Упрощаем правую часть

Преобразуем правую часть:

$$4 \cdot \frac{1 + 2 \sin x \cos x}{2} = 2(1 + 2 \sin x \cos x)$$

Используем тождество $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, и получаем:

$$\frac{1}{\sin 2x} — \frac{1}{3} = 2(1 + \sin 2x)$$

Теперь перепишем уравнение:

$$\frac{1}{\sin 2x} — \frac{1}{3} — (2 + 2 \sin 2x) = 0$$

Шаг 2: Преобразование уравнения

Переносим все выражения в левую часть:

$$\frac{1}{\sin 2x} — \frac{1}{3} — 2 — 2 \sin 2x = 0$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{1}{\sin 2x} — \frac{1}{3} — 2 — 2 \sin 2x = 0$$

Для удобства, умножим все на 3 $\sin 2x$, чтобы избавиться от дробей:

$$3 — 3 \sin 2x — 6 \sin 2x — 6 \sin^2 2x = 0$$

Приводим подобные:

$$3 — 9 \sin 2x — 6 \sin^2 2x = 0$$

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Перепишем уравнение как квадратное относительно $\sin 2x$:

$$6 \sin^2 2x + 9 \sin 2x — 3 = 0$$

Решим его с помощью дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac = 9^2 — 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 81 + 72 = 153$$

Решаем уравнение:

$$\sin 2x = \frac{-9 \pm \sqrt{153}}{2 \cdot 6}$$

Вычисляем корни:

$$\sin 2x = \frac{-9 + \sqrt{153}}{12}, \quad \sin 2x = \frac{-9 — \sqrt{153}}{12}$$

Но второй корень, $\sin 2x = \frac{-9 — \sqrt{153}}{12}$, больше $-1$, что не подходит для синуса. Оставляем только первый корень:

$$\sin 2x = \frac{-9 + \sqrt{153}}{12}$$

Шаг 4: Решение уравнения для $x$

Для $\sin 2x = \frac{1}{3}$, находим:

$$2x = (-1)^n \arcsin \frac{1}{3} + \pi n$$

Тогда:

$$x = \frac{(-1)^n}{2} \arcsin \frac{1}{3} + \frac{\pi n}{2}$$

Для ответа выражение:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{1}{2} \arcsin \frac{1}{3} + \frac{\pi n}{2}$$