ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1278 Алимов — Подробные Ответы

1)

$$\frac{a}{a^2 — 1} + \frac{a^2 + a — 1}{a^3 — a^2 + a — 1} + \frac{a^2 — a — 1}{a^3 + a^2 + a + 1} — \frac{2a^3}{a^4 — 1} =$$ $$= \frac{a}{a^2 — 1} + \frac{a^2 + a — 1}{a^2 \cdot (a — 1) + (a — 1)} + \frac{a^2 — a — 1}{a^2 \cdot (a + 1) + (a + 1)} — \frac{2a^3}{a^4 — 1} =$$ $$= \frac{a}{(a — 1)(a + 1)} + \frac{a^2 + a — 1}{(a^2 + 1)(a — 1)} + \frac{a^2 — a — 1}{(a^2 + 1)(a + 1)} — \frac{2a^3}{(a^2 — 1)(a^2 + 1)} =$$ $$= \frac{a(a^2 + 1) + (a^2 + a — 1)(a + 1) + (a^2 — a — 1)(a — 1) — 2a^3}{(a^2 + 1)(a — 1)(a + 1)} =$$ $$= \frac{a^3 + a + a^3 + a^2 + a^2 + a — a — 1 + a^3 — a^2 — a^2 + a — a + 1 — 2a^3}{(a^2 + 1)(a^2 — 1)} =$$ $$= \frac{a^3 + a}{(a^2 + 1)(a^2 — 1)} = \frac{a \cdot (a^2 + 1)}{(a^2 + 1)(a^2 — 1)} = \frac{a}{a^2 — 1};$$

Ответ: $\boxed{\frac{a}{a^2 — 1}}$.

2)

$$\frac{1}{a^2 + 5a + 6} + \frac{2a}{a^2 + 4a + 3} + \frac{1}{(a + 1)^2 + a + 1} — \frac{2}{a + 3};$$

Разложим многочлен в знаменателе первой дроби на множители:

$$a^2 + 5a + 6 = 0;$$ $$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1, \text{ тогда:}$$ $$a_1 = \frac{-5 — 1}{2} = -3 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{-5 + 1}{2} = -2;$$ $$(a + 3)(a + 2) = 0;$$

Разложим многочлен в знаменателе второй дроби на множители:

$$a^2 + 4a + 3 = 0;$$ $$D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4, \text{ тогда:}$$ $$a_1 = \frac{-4 — 2}{2} = -3 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{-4 + 2}{2} = -1;$$ $$(a + 3)(a + 1) = 0;$$

Разложим многочлен в знаменателе третьей дроби на множители:

$$(a + 1)^2 + a + 1 = a^2 + 2a + 1 + a + 1 = a^2 + 3a + 2 = 0;$$ $$D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1, \text{ тогда:}$$ $$a_1 = \frac{-3 — 1}{2} = -2 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{-3 + 1}{2} = -1;$$ $$(a + 2)(a + 1) = 0;$$

Получим выражение:

$$\frac{1}{(a + 3)(a + 2)} + \frac{2a}{(a + 3)(a + 1)} + \frac{1}{(a + 2)(a + 1)} — \frac{2}{a + 3} =$$ $$= \frac{(a + 1) + 2a \cdot (a + 2) + (a + 3) — 2(a + 1)(a + 2)}{(a + 1)(a + 2)(a + 3)} =$$ $$= \frac{a + 1 + 2a^2 + 4a + a + 3 — 2(a^2 + 3a + 2)}{(a + 1)(a + 2)(a + 3)} =$$ $$= \frac{a + 1 + 2a^2 + 4a + a + 3 — 2a^2 — 6a — 4}{(a + 1)(a + 2)(a + 3)} =$$ $$= \frac{0}{(a + 1)(a + 2)(a + 3)} = 0;$$

Ответ: $\boxed{0}$.

1. Задание:

$$\frac{a}{a^2 — 1} + \frac{a^2 + a — 1}{a^3 — a^2 + a — 1} + \frac{a^2 — a — 1}{a^3 + a^2 + a + 1} — \frac{2a^3}{a^4 — 1}$$

Шаг 1: Преобразуем каждую дробь в более удобную форму.

Первая дробь:

$$\frac{a}{a^2 — 1}$$

Знаменатель можно разложить на множители:

$$a^2 — 1 = (a — 1)(a + 1)$$

Тогда первая дробь становится:

$$\frac{a}{(a — 1)(a + 1)}$$

Вторая дробь:

$$\frac{a^2 + a — 1}{a^3 — a^2 + a — 1}$$

Знаменатель можно преобразовать, выделив общий множитель в первых двух и последних двух слагаемых:

$$a^3 — a^2 + a — 1 = a^2(a — 1) + 1(a — 1) = (a^2 + 1)(a — 1)$$

Тогда вторая дробь становится:

$$\frac{a^2 + a — 1}{(a^2 + 1)(a — 1)}$$

Третья дробь:

$$\frac{a^2 — a — 1}{a^3 + a^2 + a + 1}$$

Знаменатель можно преобразовать, выделив общий множитель:

$$a^3 + a^2 + a + 1 = (a^2 + 1)(a + 1)$$

Тогда третья дробь становится:

$$\frac{a^2 — a — 1}{(a^2 + 1)(a + 1)}$$

Четвертая дробь:

$$\frac{2a^3}{a^4 — 1}$$

Знаменатель можно разложить на множители:

$$a^4 — 1 = (a^2 — 1)(a^2 + 1)$$

Тогда четвертая дробь становится:

$$\frac{2a^3}{(a^2 — 1)(a^2 + 1)}$$

Шаг 2: Подставим все полученные дроби в исходное выражение:

$$\frac{a}{(a — 1)(a + 1)} + \frac{a^2 + a — 1}{(a^2 + 1)(a — 1)} + \frac{a^2 — a — 1}{(a^2 + 1)(a + 1)} — \frac{2a^3}{(a^2 — 1)(a^2 + 1)}$$

Шаг 3: Приведем все дроби к общему знаменателю.

Общий знаменатель для всех дробей — это $(a^2 + 1)(a — 1)(a + 1)$, так как он включает все множители из знаменателей.

Для этого нам нужно умножить числители и знаменатели каждой дроби на недостающие множители:

Первая дробь:

$$\frac{a}{(a — 1)(a + 1)} \quad \text{умножаем на} \quad (a^2 + 1)$$

Получаем:

$$\frac{a(a^2 + 1)}{(a^2 + 1)(a — 1)(a + 1)}$$

Вторая дробь:

$$\frac{a^2 + a — 1}{(a^2 + 1)(a — 1)} \quad \text{умножаем на} \quad (a + 1)$$

Получаем:

$$\frac{(a^2 + a — 1)(a + 1)}{(a^2 + 1)(a — 1)(a + 1)}$$

Третья дробь:

$$\frac{a^2 — a — 1}{(a^2 + 1)(a + 1)} \quad \text{умножаем на} \quad (a — 1)$$

Получаем:

$$\frac{(a^2 — a — 1)(a — 1)}{(a^2 + 1)(a — 1)(a + 1)}$$

Четвертая дробь:

$$\frac{2a^3}{(a^2 — 1)(a^2 + 1)} \quad \text{умножаем на} \quad (a — 1)(a + 1)$$

Получаем:

$$\frac{2a^3(a — 1)(a + 1)}{(a^2 — 1)(a^2 + 1)(a — 1)(a + 1)}$$

Шаг 4: Соберем числители в одну дробь.

Теперь все дроби имеют общий знаменатель, и числители можно сложить:

$$\frac{a(a^2 + 1) + (a^2 + a — 1)(a + 1) + (a^2 — a — 1)(a — 1) — 2a^3}{(a^2 + 1)(a — 1)(a + 1)}$$

Шаг 5: Раскроем скобки и упростим числитель.

$a(a^2 + 1) = a^3 + a$

$(a^2 + a — 1)(a + 1) = a^3 + a^2 + a^2 + a — a — 1 = a^3 + 2a^2 — 1$

$(a^2 — a — 1)(a — 1) = a^3 — a^2 — a — a^2 + a + 1 = a^3 — 2a^2 + 1$

$-2a^3 = -2a^3$

Теперь подставим все эти выражения в числитель:

$$a^3 + a + a^3 + 2a^2 — 1 + a^3 — 2a^2 + 1 — 2a^3$$

Сложим подобные члены:

$$a^3 + a^3 + a^3 — 2a^3 + 2a^2 — 2a^2 + a — 1 + 1 = a^3 + a$$

Таким образом, числитель у нас:

$$a^3 + a$$

Шаг 6: Запишем окончательный результат.

Теперь подставим числитель и знаменатель в итоговое выражение:

$$\frac{a^3 + a}{(a^2 + 1)(a — 1)(a + 1)}$$

Можно вынести общий множитель $a$ из числителя:

$$\frac{a(a^2 + 1)}{(a^2 + 1)(a — 1)(a + 1)}$$

Сокращаем на $(a^2 + 1)$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{a}{(a — 1)(a + 1)} = \frac{a}{a^2 — 1}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{a}{a^2 — 1}}$$

2. Задание:

$$\frac{1}{a^2 + 5a + 6} + \frac{2a}{a^2 + 4a + 3} + \frac{1}{(a + 1)^2 + a + 1} — \frac{2}{a + 3}$$

Шаг 1: Разложим многочлены в знаменателях на множители.

Первый знаменатель:

$$a^2 + 5a + 6$$

Находим корни:

$$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1, \quad a_1 = \frac{-5 — 1}{2} = -3, \quad a_2 = \frac{-5 + 1}{2} = -2$$

Знаменатель раскладывается как:

$$a^2 + 5a + 6 = (a + 3)(a + 2)$$

Второй знаменатель:

$$a^2 + 4a + 3$$

Находим корни:

$$D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4, \quad a_1 = \frac{-4 — 2}{2} = -3, \quad a_2 = \frac{-4 + 2}{2} = -1$$

Знаменатель раскладывается как:

$$a^2 + 4a + 3 = (a + 3)(a + 1)$$

Третий знаменатель:

$$(a + 1)^2 + a + 1 = a^2 + 2a + 1 + a + 1 = a^2 + 3a + 2$$

Находим корни:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1, \quad a_1 = \frac{-3 — 1}{2} = -2, \quad a_2 = \frac{-3 + 1}{2} = -1$$

Знаменатель раскладывается как:

$$a^2 + 3a + 2 = (a + 2)(a + 1)$$

Четвертый знаменатель:

$$a + 3$$

Оставляем как есть.

Шаг 2: Подставим разложенные знаменатели в выражение.

Теперь подставим разложенные знаменатели в исходное выражение:

$$\frac{1}{(a + 3)(a + 2)} + \frac{2a}{(a + 3)(a + 1)} + \frac{1}{(a + 2)(a + 1)} — \frac{2}{a + 3}$$

Шаг 3: Приведем дроби к общему знаменателю.

Общий знаменатель для всех дробей:

$$(a + 1)(a + 2)(a + 3)$$

Приведем каждую дробь к общему знаменателю:

Первая дробь:

$$\frac{1}{(a + 3)(a + 2)} \quad \text{умножаем на} \quad (a + 1)$$

Получаем:

$$\frac{(a + 1)}{(a + 1)(a + 2)(a + 3)}$$

Вторая дробь:

$$\frac{2a}{(a + 3)(a + 1)} \quad \text{умножаем на} \quad (a + 2)$$

Получаем:

$$\frac{2a(a + 2)}{(a + 1)(a + 2)(a + 3)}$$

Третья дробь:

$$\frac{1}{(a + 2)(a + 1)} \quad \text{умножаем на} \quad (a + 3)$$

Получаем:

$$\frac{(a + 3)}{(a + 1)(a + 2)(a + 3)}$$

Четвертая дробь:

$$\frac{2}{a + 3} \quad \text{умножаем на} \quad (a + 1)(a + 2)$$

Получаем:

$$\frac{2(a + 1)(a + 2)}{(a + 1)(a + 2)(a + 3)}$$

Шаг 4: Сложим числители.

Теперь сложим числители:

$$(a + 1) + 2a(a + 2) + (a + 3) — 2(a + 1)(a + 2)$$

Раскроем скобки:

$(a + 1) = a + 1$

$2a(a + 2) = 2a^2 + 4a$

$(a + 3) = a + 3$

$-2(a + 1)(a + 2) = -2(a^2 + 3a + 2) = -2a^2 — 6a — 4$

Теперь сложим:

$$a + 1 + 2a^2 + 4a + a + 3 — 2a^2 — 6a — 4 = 0$$

Числитель равен нулю. Следовательно, всё выражение равно нулю.

Ответ:

$$\boxed{0}$$