ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 676 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить (676—677)

1. sin(arcsin1/3);
2. sin(arcsin(-1/4);
3. sin(пи-arcsin3/4);
4. sin(пи+arcsin2/3).

1. $\sin\left(\arcsin\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3}$;
2. $\sin\left(\arcsin\left(-\frac{1}{4}\right)\right) = -\frac{1}{4}$;
3. $\sin\left(\pi — \arcsin\frac{3}{4}\right) = \sin\left(\arcsin\frac{3}{4}\right) = \frac{3}{4}$;
4. $\sin\left(\pi + \arcsin\frac{2}{3}\right) = -\sin\left(\arcsin\frac{2}{3}\right) = -\frac{2}{3}$

Пункт 1.

$$\sin\left(\arcsin \frac{1}{3}\right) = ?$$

Шаг 1: Что такое $\arcsin$?

$\arcsin y$ — это функция, дающая угол $\theta$, для которого $\sin \theta = y$, и $\theta \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$.

То есть, $\arcsin \frac{1}{3}$ — это угол $\theta$, такой, что:

$$\sin \theta = \frac{1}{3}, \quad \theta \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right].$$

Шаг 2: Применяем синус к арксинусу

Поскольку $\arcsin \frac{1}{3} = \theta$, то

$$\sin\left(\arcsin \frac{1}{3}\right) = \sin \theta = \frac{1}{3}.$$

Ответ:

$$\sin\left(\arcsin \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3}.$$

Пункт 2.

$$\sin\left(\arcsin\left(-\frac{1}{4}\right)\right) = ?$$

Аналогично пункту 1:

$\arcsin \left(-\frac{1}{4}\right)$ — это угол $\phi$, такой, что

$$\sin \phi = -\frac{1}{4}, \quad \phi \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right].$$

Применяем синус:

$$\sin\left(\arcsin\left(-\frac{1}{4}\right)\right) = \sin \phi = -\frac{1}{4}.$$

Ответ:

$$\sin\left(\arcsin\left(-\frac{1}{4}\right)\right) = -\frac{1}{4}.$$

Пункт 3.

$$\sin\left(\pi — \arcsin \frac{3}{4}\right) = ?$$

Шаг 1: Обозначим угол

Пусть

$$\alpha = \arcsin \frac{3}{4}.$$

По определению:

$$\sin \alpha = \frac{3}{4}, \quad \alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right].$$

Шаг 2: Используем формулу синуса разности

Из тригонометрии известно, что

$$\sin(\pi — \alpha) = \sin \alpha.$$

Пояснение: $\pi — \alpha$ — это угол, симметричный $\alpha$ относительно вертикальной оси на тригонометрическом круге, и синус угла в этом случае сохраняет значение, потому что он равен высоте точки на окружности.

Шаг 3: Подставляем

$$\sin\left(\pi — \arcsin \frac{3}{4}\right) = \sin\left(\arcsin \frac{3}{4}\right) = \frac{3}{4}.$$

Ответ:

$$\sin\left(\pi — \arcsin \frac{3}{4}\right) = \frac{3}{4}.$$

Пункт 4.

$$\sin\left(\pi + \arcsin \frac{2}{3}\right) = ?$$

Шаг 1: Обозначим угол

Пусть

$$\beta = \arcsin \frac{2}{3}.$$

Тогда

$$\sin \beta = \frac{2}{3}, \quad \beta \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right].$$

Шаг 2: Используем формулу синуса суммы

Для любого угла $\theta$ справедливо:

$$\sin(\pi + \theta) = -\sin \theta.$$

Пояснение: угол $\pi + \theta$ лежит в третьей четверти, где синус отрицателен, и его значение равно минус синус исходного угла.

Шаг 3: Подставляем

$$\sin\left(\pi + \arcsin \frac{2}{3}\right) = -\sin\left(\arcsin \frac{2}{3}\right) = -\frac{2}{3}.$$

Ответ:

$$\sin\left(\pi + \arcsin \frac{2}{3}\right) = -\frac{2}{3}.$$

Итог:

1. $\sin\left(\arcsin \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3}$;
2. $\sin\left(\arcsin \left(-\frac{1}{4}\right)\right) = -\frac{1}{4}$;
3. $\sin\left(\pi — \arcsin \frac{3}{4}\right) = \frac{3}{4}$;
4. $\sin\left(\pi + \arcsin \frac{2}{3}\right) = -\frac{2}{3}$.