ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 366 Алимов — Подробные Ответы

$$\frac{2}{3^x-1}\le \frac{7}{9^x-2}$$

Решить неравенство:

$$\frac{2}{3^x-1}\le \frac{7}{9^x-2};$$

$$\frac{2}{3^x — 1} \leq \frac{7}{9^x — 2};$$ $$\frac{2}{3^x-1}-\frac{7}{9^x-2}\le 0;$$

$$\frac{2}{3^x — 1} — \frac{7}{9^x — 2} \leq 0;$$ $$\frac{2(9^x-2)-7(3^x-1)}{(3^x-1)(9^x-2)}\le 0;$$

$$\frac{2(9^x — 2) — 7(3^x — 1)}{(3^x — 1)(9^x — 2)} \leq 0;$$ $$\frac{2\cdot 9^x-4-7\cdot 3^x+7}{(3^x-1)(9^x-2)}\le 0;$$

$$\frac{2 \cdot 9^x — 4 — 7 \cdot 3^x + 7}{(3^x — 1)(9^x — 2)} \leq 0;$$ $$\frac{2 \cdot 3^{2x} — 7 \cdot 3^x + 3}{(3^x — 1)(3^{2x} — 2)} \leq 0;$$

Разложим числитель дроби на множители:

$$2\cdot 3^{2x}-7\cdot 3^x+3=0;$$

$$2 \cdot 3^{2x} — 7 \cdot 3^x + 3 = 0;$$ $$D=7^2-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25,\text{ тогда: }$$

$$D = 7^2 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 — 24 = 25, \text{ тогда: }$$ $$3_1^x=\frac{7-5}{2\cdot 2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2};$$

$$3^x_1 = \frac{7 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2};$$ $$3_2^x=\frac{7+5}{2\cdot 2}=\frac{12}{4}=3;$$

$$3^x_2 = \frac{7 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3;$$ $$\left( 3^x — \frac{1}{2} \right)(3^x — 3) = 0;$$

Получим неравенство:

$$\frac{(3^x-\frac{1}{2})(3^x-3)}{(3^x-1)(3^{2x}-2)}\le 0;$$

$$\frac{\left( 3^x — \frac{1}{2} \right)(3^x — 3)}{(3^x — 1)(3^{2x} — 2)} \leq 0;$$ $$(3^x-\frac{1}{2})(3^x-1)(3^{2x}-2)(3^x-3)\le 0;$$

$$\left( 3^x — \frac{1}{2} \right)(3^x — 1)(3^{2x} — 2)(3^x — 3) \leq 0;$$ $$(3^x+\sqrt{2})(3^x-\frac{1}{2})(3^x-1)(3^x-\sqrt{2})(3^x-3)\le 0;$$

$$\left( 3^x + \sqrt{2} \right)\left( 3^x — \frac{1}{2} \right)(3^x — 1)(3^x — \sqrt{2})(3^x — 3) \leq 0;$$ $$x < -\sqrt{2}; \quad \frac{1}{2} \leq 3^x < 1; \quad \sqrt{2} < 3^x \leq 3;$$

Первое значение:

$$3^x < -\sqrt{2} \quad \text{— нет корней};$$

Второе значение:

$$3^x\ge \frac{1}{2};$$

$$3^x \geq \frac{1}{2};$$ $${\log }_3{3}^x\ge {\log }_3\frac{1}{2};$$

$$\log_3 3^x \geq \log_3 \frac{1}{2};$$ $$x \geq \log_3 2^{-1}, \text{ отсюда } x \geq -\log_3 2;$$

Третье значение:

$$3^x<1;$$

$$3^x < 1;$$ $$3^x < 3^0, \text{ отсюда } x < 0;$$

Четвертое значение:

$$3^x>\sqrt{2};$$

$$3^x > \sqrt{2};$$ $$\log_3 3^x > \log_3 \sqrt{2}, \text{ отсюда } x > \log_3 \sqrt{2};$$

Пятое значение:

$$3^x \leq 3, \text{ отсюда } x \leq 1;$$

Ответ: $-\log_3 2 \leq x < 0; \quad \log_3 \sqrt{2} < x \leq 1$.

$$\frac{2}{3^x — 1} \leq \frac{7}{9^x — 2}$$

Шаг 1: Преобразуем неравенство к нулю

Переносим вторую дробь влево:

$$\frac{2}{3^x — 1} — \frac{7}{9^x — 2} \leq 0$$

Шаг 2: Приводим к общему знаменателю

Общий знаменатель: $(3^x — 1)(9^x — 2)$. Вычисляем числитель:

$$\frac{2(9^x — 2) — 7(3^x — 1)}{(3^x — 1)(9^x — 2)} \leq 0$$

Раскроем скобки в числителе:

$$2 \cdot 9^x — 2 \cdot 2 — 7 \cdot 3^x + 7 = 2 \cdot 9^x — 4 — 7 \cdot 3^x + 7$$

Упрощаем:

$$2 \cdot 9^x — 7 \cdot 3^x + 3$$

Теперь заметим, что $9^x = (3^x)^2 = 3^{2x}$, подставим:

$$2 \cdot 3^{2x} — 7 \cdot 3^x + 3$$

Таким образом, неравенство принимает вид:

$$\frac{2 \cdot 3^{2x} — 7 \cdot 3^x + 3}{(3^x — 1)(3^{2x} — 2)} \leq 0$$

Шаг 3: Замена переменной

Пусть $t = 3^x$, тогда $t > 0$, так как $3^x > 0$ при любом $x \in \mathbb{R}$

Неравенство становится:

$$\frac{2t^2 — 7t + 3}{(t — 1)(t^2 — 2)} \leq 0$$

Шаг 4: Найдём корни числителя

Решим квадратное уравнение:

$$2t^2 — 7t + 3 = 0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = (-7)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 — 24 = 25$$

Корни:

$$t_1 = \frac{7 — \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ $$t_2 = \frac{7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$$

Значит:

$$2t^2 — 7t + 3 = 2(t — \frac{1}{2})(t — 3)$$

Шаг 5: Разложим знаменатель

$$(t — 1)(t^2 — 2) = (t — 1)(t — \sqrt{2})(t + \sqrt{2})$$

Шаг 6: Составим выражение с учётом всех множителей

Полное выражение:

$$\frac{2(t — \frac{1}{2})(t — 3)}{(t — 1)(t — \sqrt{2})(t + \sqrt{2})} \leq 0$$

Шаг 7: Область допустимых значений (ОДЗ)

Так как $t = 3^x > 0$, то исключаем только нули знаменателя:

• $t \ne 1$
• $t \ne \sqrt{2}$
• $t \ne -\sqrt{2}$ — но это не входит в ОДЗ, так как $t > 0$

Так что:

$$t \in (0, \infty) \setminus \{1, \sqrt{2}\}$$

Шаг 8: Анализ знаков выражения

Найдём критические точки (нулевые и исключённые значения):

• $t = \frac{1}{2}$ (нулит числитель)
• $t = 3$ (нулит числитель)
• $t = 1$ (нулит знаменатель)
• $t = \sqrt{2}$ (нулит знаменатель)

Расположим точки на числовой оси:

$$\frac{1}{2} \quad < \quad 1 \quad < \quad \sqrt{2} \quad < \quad 3$$

Разделим область на интервалы:

1. $0 < t < \frac{1}{2}$
2. $\frac{1}{2} < t < 1$
3. $1 < t < \sqrt{2}$
4. $\sqrt{2} < t < 3$
5. $t > 3$

Проверим знак выражения на каждом интервале:

1. $0 < t < \frac{1}{2}$:

• $t — \frac{1}{2} < 0$
• $t — 3 < 0$
• $t — 1 < 0$
• $t — \sqrt{2} < 0$
• $t + \sqrt{2} > 0$

⇒ Числитель: $(-)(-) = +$
Знаменатель: $(-)(-)(+) = +$

Знак: $+ \Rightarrow \text{не подходит}$

2. $\frac{1}{2} < t < 1$:

• $t — \frac{1}{2} > 0$
• $t — 3 < 0$
• $t — 1 < 0$
• $t — \sqrt{2} < 0$
• $t + \sqrt{2} > 0$

⇒ Числитель: $(+)(-) = —$
Знаменатель: $(-)(-)(+) = +$

Знак: $— \Rightarrow \text{подходит}$

3. $1 < t < \sqrt{2}$:

• $t — \frac{1}{2} > 0$
• $t — 3 < 0$
• $t — 1 > 0$
• $t — \sqrt{2} < 0$
• $t + \sqrt{2} > 0$

⇒ Числитель: $(+)(-) = —$
Знаменатель: $(+)(-)(+) = —$

Знак: $-/- = + \Rightarrow \text{не подходит}$

4. $\sqrt{2} < t < 3$:

• $t — \frac{1}{2} > 0$
• $t — 3 < 0$
• $t — 1 > 0$
• $t — \sqrt{2} > 0$
• $t + \sqrt{2} > 0$

⇒ Числитель: $(+)(-) = —$
Знаменатель: $(+)(+)(+) = +$

Знак: $— \Rightarrow \text{подходит}$

5. $t > 3$:

• Все скобки положительные

⇒ Числитель: $(+)(+) = +$
Знаменатель: $(+)(+)(+) = +$

Знак: $+ \Rightarrow \text{не подходит}$

Шаг 9: Учитываем граничные точки

• Включаем $t = \frac{1}{2}$ и $t = 3$: числитель обращается в 0 ⇒ выражение = 0 ⇒ подходит
• Не включаем $t = 1$ и $t = \sqrt{2}$: знаменатель обращается в 0 ⇒ выражение не определено

Шаг 10: Ответ в переменной $t$

Подходящие интервалы:

$$\left[ \frac{1}{2}, 1 \right) \cup \left( \sqrt{2}, 3 \right]$$

Шаг 11: Переход к переменной $x$

Напомним: $t = 3^x$

Интервал 1:

$$\frac{1}{2} \leq 3^x < 1 \Rightarrow \log_3 \frac{1}{2} \leq x < \log_3 1 \Rightarrow -\log_3 2 \leq x < 0$$

Интервал 2:

$$\sqrt{2} < 3^x \leq 3 \Rightarrow \log_3 \sqrt{2} < x \leq \log_3 3 \Rightarrow \log_3 \sqrt{2} < x \leq 1$$

Окончательный ответ:

$$\boxed{ -\log_3 2 \leq x < 0 \quad \cup \quad \log_3 \sqrt{2} < x \leq 1 }$$