ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 954 Алимов — Подробные Ответы

Найти интервалы выпуклости вверх и интервалы выпукло сти вниз функции f (x), если:

1. f (х) = (х + 1)4;
2. f(х) = х4 — 6х2 + 4;
3. f (х) = (х2 — Зх + 2) ех;
4. f (х) = х3 — 6х ln х.

Функция выпукла вниз на тех отрезках, на которых: $f»(x) > 0$;
Функция выпукла вверх на тех отрезках, на которых: $f»(x) < 0$;

1) $f(x) = (x + 1)^4$;

Первая производная:

$$f'(x) = (x + 1)^4 = 4 \cdot (x + 1)^3;$$

Вторая производная:

$$f'(x) = 4 \cdot (x + 1)^3 = 4 \cdot 3(x + 1)^2 = 12(x + 1)^2;$$

Функция выпукла вниз при:

$$(x + 1)^2 > 0;$$ $$x + 1 \neq 0, \text{отсюда } x \neq -1;$$

Ответ: выпукла вниз на $(-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2) $f(x) = x^4 — 6x^2 + 4$;

Первая производная:

$$f'(x) = (x^4)’ — 6 \cdot (x^2)’ + (4)’;$$ $$f'(x) = 4x^3 — 6 \cdot 2x + 0 = 4x^3 — 12x;$$

Вторая производная:

$$f»(x) = 4 \cdot (x^3)’ — (12x) = 4 \cdot 3x^2 — 12 = 12x^2 — 12;$$

Функция выпукла вниз при:

$$12x^2 — 12 > 0;$$ $$x^2 — 1 > 0;$$ $$x^2 > 1;$$ $$x < -1 \text{ или } x \geq 1;$$

Ответ: выпукла вниз на $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$;
выпукла вверх на $(-1; 1)$.

3) $f(x) = (x^2 — 3x + 2) \cdot e^x$;

Первая производная:

$$f'(x) = (x^2 — 3x + 2)’ \cdot e^x + (x^2 — 3x + 2) \cdot (e^x)’;$$ $$f'(x) = (2x — 3) \cdot e^x + (x^2 — 3x + 2) \cdot e^x;$$ $$f'(x) = (2x — 3 + x^2 — 3x + 2) \cdot e^x;$$ $$f'(x) = (x^2 — x — 1) \cdot e^x;$$

Вторая производная:

$$f»(x) = (x^2 — x — 1)’ \cdot e^x + (x^2 — x — 1) \cdot (e^x)’;$$ $$f»(x) = (2x — 1) \cdot e^x + (x^2 — x — 1) \cdot e^x;$$ $$f»(x) = (2x — 1 + x^2 — x — 1) \cdot e^x;$$ $$f»(x) = (x^2 + x — 2) \cdot e^x;$$

Функция выпукла вниз при:

$$x^2 + x — 2 > 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9; \text{ тогда:}$$ $$x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \text{ и } x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;$$ $$(x + 2)(x — 1) > 0;$$ $$x < -2 \text{ или } x > 1;$$

Ответ: выпукла вниз на $(-\infty; -2) \cup (1; +\infty)$;
выпукла вверх на $(-2; 1)$.

4) $f(x) = x^3 — 6x \cdot \ln x$;

Первая производная:

$$f'(x) = (x^3)’ — (6x)’ \cdot \ln x — 6x \cdot (\ln x)’;$$ $$f'(x) = 3x^2 — 6 \cdot \ln x — 6x \cdot \frac{1}{x};$$ $$f'(x) = 3x^2 — 6 \cdot \ln x — 6;$$

Вторая производная:

$$f»(x) = 3 \cdot (x^2)’ — 6 \cdot (\ln x)’ — (6)’;$$ $$f»(x) = 3 \cdot 2x — 6 \cdot \frac{1}{x} — 0;$$ $$f»(x) = 6 \cdot \left( x — \frac{1}{x} \right);$$

Функция выпукла вниз при:

$$x — \frac{1}{x} > 0;$$ $$x^3 — x > 0;$$ $$x \cdot (x^2 — 1) > 0;$$ $$(x + 1) \cdot x \cdot (x — 1) > 0;$$ $$-1 < x < 0 \text{ или } x > 1;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x > 0;$$

Ответ: выпукла вниз на $(1; +\infty)$;
выпукла вверх на $(0; 1)$.

• $f»(x) > 0$ — функция выпукла вниз (вогнута вверх);
• $f»(x) < 0$ — функция выпукла вверх (вогнута вниз).

1) $f(x) = (x + 1)^4$

Шаг 1: Первая производная

Применим правило производной степенной функции:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}[(x + 1)^4] = 4(x + 1)^3$$

Шаг 2: Вторая производная

$$f»(x) = \frac{d}{dx}[4(x + 1)^3] = 4 \cdot 3(x + 1)^2 = 12(x + 1)^2$$

Шаг 3: Исследование знака второй производной

$$f»(x) = 12(x + 1)^2 \geq 0$$

Равно 0 только в точке $x = -1$, в остальных — положительно.

Следовательно:

• $f»(x) > 0$ при $x \ne -1$
• $f»(x) = 0$ при $x = -1$

Ответ:
Функция выпукла вниз на $(-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$

2) $f(x) = x^4 — 6x^2 + 4$

Шаг 1: Первая производная

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4) — 6 \cdot \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(4) = 4x^3 — 12x$$

Шаг 2: Вторая производная

$$f»(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 — 12x) = 12x^2 — 12$$

Шаг 3: Исследуем знак

$$12x^2 — 12 > 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 > 1 \quad \Rightarrow \quad x < -1 \text{ или } x > 1$$

Промежутки:

• $f»(x) > 0$ ⇔ выпукла вниз: $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$
• $f»(x) < 0$ ⇔ выпукла вверх: $(-1; 1)$

Ответ:
Выпукла вниз: $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$
Выпукла вверх: $(-1; 1)$

3) $f(x) = (x^2 — 3x + 2) \cdot e^x$

Шаг 1: Первая производная

Применим правило производной произведения:

$$f'(x) = (2x — 3)e^x + (x^2 — 3x + 2)e^x$$ $$f'(x) = [2x — 3 + x^2 — 3x + 2] \cdot e^x = (x^2 — x — 1) \cdot e^x$$

Шаг 2: Вторая производная

$$f»(x) = \frac{d}{dx}[(x^2 — x — 1)e^x] = (2x — 1)e^x + (x^2 — x — 1)e^x$$ $$f»(x) = (x^2 + x — 2) \cdot e^x$$

Шаг 3: Анализ выпуклости

Так как $e^x > 0$ всегда, знак производной зависит только от $x^2 + x — 2$.

Найдём корни:

$$x^2 + x — 2 = 0 \Rightarrow x = -2,\ 1$$

Знак выражения:

• $x < -2$: $> 0$
• $-2 < x < 1$: $< 0$
• $x > 1$: $> 0$

Ответ:
Выпукла вниз: $(-\infty; -2) \cup (1; +\infty)$
Выпукла вверх: $(-2; 1)$

4) $f(x) = x^3 — 6x \cdot \ln x$, область определения: $x > 0$

Шаг 1: Первая производная

$$f'(x) = 3x^2 — 6 \cdot \ln x — 6x \cdot \frac{1}{x} = 3x^2 — 6 \ln x — 6$$

Шаг 2: Вторая производная

$$f»(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) — 6 \cdot \frac{1}{x} = 6x — \frac{6}{x}$$ $$f»(x) = 6 \left( x — \frac{1}{x} \right)$$

Шаг 3: Найдём, где $f»(x) > 0$

$$x — \frac{1}{x} > 0 \Rightarrow x^2 — 1 > 0 \Rightarrow x > 1$$

Также:

• $f»(x) < 0$ при $0 < x < 1$

Ответ:
Выпукла вниз: $(1; +\infty)$
Выпукла вверх: $(0; 1)$$(0; 1)$