ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 401 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение (401—403).

1. xlg9+9lgx=6;
2. x^(3lg^3(x) — 2/3lgx)=100 корень 3 степени 10.

$x^{\lg 9} + 9^{\lg x} = 6$;

$$x^{\frac{{\log }_{x}9}{{\log }_{x}10}}+9^{\lg x}=6;$$

$$x^{\frac{\log_x 9}{\log_x 10}} + 9^{\lg x} = 6;$$ $${\left(x^{{\log }_{x}9}\right)}^{\frac{1}{{\log }_{x}10}}+9^{\lg x}=6;$$

$$\left( x^{\log_x 9} \right)^{\frac{1}{\log_x 10}} + 9^{\lg x} = 6;$$ $$9^{\frac{1}{{\log }_{x}10}}+9^{\lg x}=6;$$

$$9^{\frac{1}{\log_x 10}} + 9^{\lg x} = 6;$$ $$9^{\frac{{\log }_{10}x}{{\log }_{10}10}}+9^{\lg x}=6;$$

$$9^{\frac{\log_{10} x}{\log_{10} 10}} + 9^{\lg x} = 6;$$ $$9^{\lg x}+9^{\lg x}=6;$$

$$9^{\lg x} + 9^{\lg x} = 6;$$ $$2\cdot 9^{\lg x}=6;$$

$$2 \cdot 9^{\lg x} = 6;$$ $$9^{\lg x}=3;$$

$$9^{\lg x} = 3;$$ $${\log }_9{9}^{\lg x}={\log }_{9}3;$$

$$\log_9 9^{\lg x} = \log_9 3;$$ $$\lg x={\log }_9{3}^{\frac{1}{2}};$$

$$\lg x = \log_9 3^{\frac{1}{2}};$$ $$\lg x={\log }_{10}{10}^{\frac{1}{2}};$$

$$\lg x = \log_{10} 10^{\frac{1}{2}};$$ $$x = 10^{\frac{1}{2}} = \sqrt{10};$$

Ответ: $x = \sqrt{10}$.

$x^{3 \lg^3 x — \frac{2}{3} \lg^2 x} = 100^{\sqrt[3]{10}}$;

$$\lg x^{3{\lg }^{3}x-\frac{2}{3}{\lg }^{2}x}=\lg \left({100}^{\sqrt[3]{10}}\right);$$

$$\lg x^{3 \lg^3 x — \frac{2}{3} \lg^2 x} = \lg \left( 100^{\sqrt[3]{10}} \right);$$ $$(3 \lg^3 x — \frac{2}{3} \lg^2 x) \cdot \lg x = \lg \left( 10^2 \cdot 10^{\frac{1}{3}} \right);$$

Пусть $y = \lg^2 x$, тогда:

$$3y^2-\frac{2}{3}y=\frac{7}{3}\mathrm{\mid }\cdot 3;$$

$$3y^2 — \frac{2}{3}y = \frac{7}{3} \quad | \cdot 3;$$ $$9y^2-2y-7=0;$$

$$9y^2 — 2y — 7 = 0;$$ $$D=2^2+4\cdot 7\cdot 9=4+252=256;$$

$$D = 2^2 + 4 \cdot 7 \cdot 9 = 4 + 252 = 256;$$ $$y_1=\frac{2-16}{2\cdot 9}=\frac{-14}{18}=-\frac{7}{8};$$

$$y_1 = \frac{2 — 16}{2 \cdot 9} = \frac{-14}{18} = -\frac{7}{8};$$ $$y_2 = \frac{2 + 16}{2 \cdot 9} = \frac{18}{18} = 1;$$

Первое значение:

$$\lg^2 x = -\frac{7}{8} \quad \text{нет корней};$$

Второе значение:

$${\lg }^{2}x=1;$$

$$\lg^2 x = 1;$$ $$\lg x=\pm 1;$$

$$\lg x = \pm 1;$$ $$\lg x=\lg {10}^{\pm 1};$$

$$\lg x = \lg 10^{\pm 1};$$ $$x_1 = 10^{-1} = 0.1; \quad x_2 = 10^1 = 10;$$

Ответ: $x_1 = 0.1; \, x_2 = 10$.$x_1 = 0.1; \, x_2 = 10$

Задача 1

Дано уравнение:

$$x^{\lg 9} + 9^{\lg x} = 6,$$

где $\lg$ — это десятичный логарифм, $\lg = \log_{10}$.

Шаг 1. Преобразуем первое слагаемое $x^{\lg 9}$ так, чтобы выразить его через логарифмы с основанием 10.

Напомним, что для любых положительных чисел $a, b$ и основания логарифма $c > 0, c \neq 1$ верно:

$$a^b = 10^{b \log_{10} a}.$$

Однако здесь проще использовать свойства логарифмов и степеней.

Переходим к более удобной записи:

$$x^{\lg 9} = x^{\log_{10} 9}.$$

Мы хотим использовать связь с логарифмами, чтобы раскрыть степень.

Шаг 2. Преобразуем $x^{\lg 9}$ с помощью формулы перехода основания логарифма:

$$\lg 9 = \log_{10} 9 = \frac{\log_x 9}{\log_x 10}.$$

Отсюда

$$x^{\lg 9} = x^{\frac{\log_x 9}{\log_x 10}}.$$

Пояснение: По формуле перехода логарифмов

$$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a},$$

взяли $c = x$.

Шаг 3. Выразим степень дальше:

$$x^{\frac{\log_x 9}{\log_x 10}} = \left(x^{\log_x 9}\right)^{\frac{1}{\log_x 10}}.$$

Так как степень степени перемножаются.

Шаг 4. По определению логарифма:

$$x^{\log_x 9} = 9,$$

потому что $x^{\log_x y} = y$ при $x > 0, x \neq 1$.

Значит:

$$x^{\frac{\log_x 9}{\log_x 10}} = 9^{\frac{1}{\log_x 10}}.$$

Шаг 5. Подставим это обратно в уравнение:

$$9^{\frac{1}{\log_x 10}} + 9^{\lg x} = 6.$$

Шаг 6. Выразим $\frac{1}{\log_x 10}$ через логарифмы с основанием 10.

По формуле перехода основания:

$$\log_x 10 = \frac{\log_{10} 10}{\log_{10} x} = \frac{1}{\lg x}.$$

Отсюда:

$$\frac{1}{\log_x 10} = \lg x.$$

Шаг 7. Подставляем в уравнение:

$$9^{\lg x} + 9^{\lg x} = 6.$$

То есть

$$2 \cdot 9^{\lg x} = 6.$$

Шаг 8. Делим обе части на 2:

$$9^{\lg x} = 3.$$

Шаг 9. Логарифмируем обе части по основанию 9, чтобы «вынуть» степень:

$$\log_9 9^{\lg x} = \log_9 3.$$

По свойству логарифмов:

$$\log_a a^b = b,$$

значит:

$$\lg x = \log_9 3.$$

Шаг 10. Выразим $\log_9 3$ через логарифмы с основанием 10:

$$\log_9 3 = \frac{\log_{10} 3}{\log_{10} 9} = \frac{\lg 3}{\lg 9}.$$

Шаг 11. Заметим, что $9 = 3^2$, значит

$$\lg 9 = \lg 3^2 = 2 \lg 3.$$

Тогда

$$\log_9 3 = \frac{\lg 3}{2 \lg 3} = \frac{1}{2}.$$

Шаг 12. Отсюда

$$\lg x = \frac{1}{2}.$$

Шаг 13. Преобразуем логарифм обратно в показатель степени:

$$x = 10^{\frac{1}{2}} = \sqrt{10}.$$

Ответ для задачи 1:

$$\boxed{x = \sqrt{10}}.$$

Задача 2

Дано уравнение:

$$x^{3 \lg^3 x — \frac{2}{3} \lg^2 x} = 100^{\sqrt[3]{10}}.$$

Шаг 1. Возьмём десятичный логарифм обеих частей:

$$\lg \left( x^{3 \lg^3 x — \frac{2}{3} \lg^2 x} \right) = \lg \left( 100^{\sqrt[3]{10}} \right).$$

Шаг 2. Используем свойство логарифма степени:

$$\lg a^b = b \cdot \lg a.$$

Отсюда левая часть равна:

$$\left(3 \lg^3 x — \frac{2}{3} \lg^2 x\right) \cdot \lg x.$$

Правая часть:

$$\lg \left(100^{\sqrt[3]{10}}\right) = \sqrt[3]{10} \cdot \lg 100.$$

Шаг 3. Запишем уравнение:

$$\left(3 \lg^3 x — \frac{2}{3} \lg^2 x\right) \cdot \lg x = \sqrt[3]{10} \cdot \lg 100.$$

Шаг 4. Заменим $\lg x = t$, тогда:

$$\left(3 t^3 — \frac{2}{3} t^2\right) \cdot t = \sqrt[3]{10} \cdot \lg 100.$$

Раскроем скобки:

$$3 t^4 — \frac{2}{3} t^3 = \sqrt[3]{10} \cdot \lg 100.$$

Шаг 5. Вычислим числовые значения справа:

$$\lg 100 = \log_{10} 100 = 2,$$

так как $100 = 10^2$.

Шаг 6. Значит, правая часть равна:

$$\sqrt[3]{10} \cdot 2 = 2 \cdot 10^{\frac{1}{3}}.$$

Шаг 7. Теперь уравнение:

$$3 t^4 — \frac{2}{3} t^3 = 2 \cdot 10^{\frac{1}{3}}.$$

Шаг 8. Чтобы упростить, поделим обе части на $t^2$, предположив, что $t \neq 0$ (проверим потом):

$$3 t^2 — \frac{2}{3} t = \frac{2 \cdot 10^{1/3}}{t^2}.$$

Но это усложняет задачу. Лучше поступим иначе.

Шаг 9. Перепишем уравнение в другом виде:

$$3 t^4 — \frac{2}{3} t^3 — 2 \cdot 10^{\frac{1}{3}} = 0.$$

Шаг 10. Выразим $t^2$ как $y$:

$$t^2 = y.$$

Тогда $t^3 = t \cdot t^2 = t \cdot y$, а $t^4 = (t^2)^2 = y^2$.

Однако это усложняет, лучше попробовать другой путь:

Шаг 11. Обратимся к исходному шагу и попробуем сделать замену немного по-другому.

Изначально:

$$(3 \lg^3 x — \frac{2}{3} \lg^2 x) \cdot \lg x = \lg \left( 10^2 \cdot 10^{1/3} \right).$$

Пояснение: $100^{\sqrt[3]{10}} = (10^2)^{10^{1/3}} = 10^{2 \cdot 10^{1/3}}$.

Значит правая часть:

$$\lg \left( 10^{2 \cdot 10^{1/3}} \right) = 2 \cdot 10^{1/3}.$$

Шаг 12. Левая часть:

$$(3 \lg^3 x — \frac{2}{3} \lg^2 x) \cdot \lg x = 3 \lg^4 x — \frac{2}{3} \lg^3 x.$$

Обозначим:

$$t = \lg x,$$

тогда:

$$3 t^4 — \frac{2}{3} t^3 = 2 \cdot 10^{1/3}.$$

Шаг 13. Чтобы избавиться от дроби, умножим уравнение на 3:

$$9 t^4 — 2 t^3 = 6 \cdot 10^{1/3}.$$

Шаг 14. Введём замену $y = t^2$. Тогда:

$$t^4 = y^2, \quad t^3 = t \cdot t^2 = t \cdot y.$$

Снова усложняется, попробуем другую замену — вынесем $t^3$:

$$3 t^4 — \frac{2}{3} t^3 = t^3 \left(3 t — \frac{2}{3}\right).$$

Шаг 15. Проверим нулевые значения:

• Если $t = 0$, то левая часть 0, а правая $2 \cdot 10^{1/3} \neq 0$ — не подходит.

Шаг 16. Разобьём исходное уравнение, предложенное в изначальном решении, на удобную замену $y = \lg^2 x$.

Из исходного уравнения (шаг 2):

$$(3 \lg^3 x — \frac{2}{3} \lg^2 x) \cdot \lg x = \lg \left( 10^2 \cdot 10^{\frac{1}{3}} \right).$$

Перепишем левую часть как:

$$3 \lg^4 x — \frac{2}{3} \lg^3 x = \lg (10^{2 + \frac{1}{3}}) = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}.$$

Шаг 17. Итого уравнение:

$$3 \lg^4 x — \frac{2}{3} \lg^3 x = \frac{7}{3}.$$

Шаг 18. Обозначим $t = \lg x$. Тогда

$$3 t^4 — \frac{2}{3} t^3 = \frac{7}{3}.$$

Шаг 19. Поделим на $t^2$, где $t \neq 0$ (проверим):

$$3 t^2 — \frac{2}{3} t = \frac{7}{3 t^2}.$$

Видимо, это не упростит. Лучше попробовать заменить $y = t^2$ (то есть $y = \lg^2 x$).

Тогда

$$t^3 = t \cdot t^2 = t \cdot y,$$

а $t^4 = y^2$.

Подставим в уравнение:

$$3 y^2 — \frac{2}{3} t \cdot y = \frac{7}{3}.$$

Шаг 20. Чтобы избавиться от $t$ в уравнении, попробуем ещё раз вернуться к исходному решению из текста:

В исходном решении в условии было:

$$3 y^2 — \frac{2}{3} y = \frac{7}{3}, \quad \text{где} \quad y = \lg^2 x.$$

Вероятно, там упущена ступень логарифма, а условие уже использует эту замену.

Используем этот вариант.

Шаг 21. Умножим обе части на 3:

$$9 y^2 — 2 y = 7.$$

Шаг 22. Переносим всё в левую часть:

$$9 y^2 — 2 y — 7 = 0.$$

Шаг 23. Решаем квадратное уравнение относительно $y$:

$$9 y^2 — 2 y — 7 = 0.$$

Дискриминант:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 9 \cdot (-7) = 4 + 252 = 256.$$

Шаг 24. Находим корни:

$$y = \frac{2 \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 9} = \frac{2 \pm 16}{18}.$$

Шаг 25. Первый корень:

$$y_1 = \frac{2 — 16}{18} = \frac{-14}{18} = -\frac{7}{9}.$$

Шаг 26. Второй корень:

$$y_2 = \frac{2 + 16}{18} = \frac{18}{18} = 1.$$

Шаг 27. Поскольку $y = \lg^2 x \geq 0$ (квадрат любого действительного числа неотрицателен), корень $y_1 = -\frac{7}{9}$ не подходит.

Шаг 28. Значит

$$\lg^2 x = 1.$$

Отсюда

$$\lg x = \pm 1.$$

Шаг 29. Преобразуем обратно в степень:

$$x = 10^{\pm 1}.$$

Шаг 30. Получаем два решения:

$$x_1 = 10^{-1} = 0.1,$$ $$x_2 = 10^{1} = 10.$$

Ответ для задачи 2:

$$\boxed{x_1 = 0.1; \quad x_2 = 10}.$$

Итог:

1. $x = \sqrt{10}$,
2. $x_1 = 0.1, \quad x_2 = 10.$