ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 697 Алимов — Подробные Ответы

Найти наибольшее и наименьшее значения функции у — 3 cos 2х — 4 sin 2х.

$y = 3 \cos 2x — 4 \sin 2x;$

Докажем, что $\cos \left( \arcsin \frac{3}{5} \right) = \frac{4}{5}$:

$$\cos \left( \arcsin \frac{3}{5} \right) = \sqrt{1 — \sin^2 \left( \arcsin \frac{3}{5} \right)} = \sqrt{1 — \left( \frac{3}{5} \right)^2} = \sqrt{\frac{25}{25} — \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5};$$

Упростим выражение:

$$y = 5 \left( \frac{3}{5} \cos 2x — \frac{4}{5} \sin 2x \right) = 5 \left( \sin \left( \arcsin \frac{3}{5} \right) \cdot \cos 2x — \cos \left( \arcsin \frac{3}{5} \right) \cdot \sin 2x \right) =$$ $$= 5 \sin \left( \arcsin \frac{3}{5} — 2x \right) = 5 \sin \varphi, \text{ где } \varphi = \arcsin \frac{3}{5} — 2x;$$

Область значений функции:

$$-1 \leqslant \sin \varphi \leqslant 1;$$ $$-5 \leqslant 5 \sin \varphi \leqslant 5;$$

Ответ: $y_{\text{min}} = -5$; $y_{\text{max}} = 5$.

Дана функция:

$$y = 3 \cos 2x — 4 \sin 2x$$

Цель:

Найти область значений функции $y$, то есть минимальное и максимальное значение $y_{\min}$ и $y_{\max}$.

Шаг 1: Представление функции в виде одного тригонометрического выражения

Функция $y$ — линейная комбинация косинуса и синуса одного и того же аргумента $2x$:

$$y = A \cos \theta + B \sin \theta,$$

где $A = 3$, $B = -4$, и $\theta = 2x$.

Существует тригонометрическое тождество, позволяющее представить такую сумму в виде одного синуса или косинуса с фазовым сдвигом:

$$A \cos \theta + B \sin \theta = R \sin(\varphi + \theta)$$

или

$$= R \cos(\theta — \alpha),$$

где

$$R = \sqrt{A^2 + B^2}$$

и

$$\sin \varphi = \frac{A}{R}, \quad \cos \varphi = \frac{B}{R}$$

(или аналогично для $\alpha$).

Шаг 2: Найдём $R$

$$R = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Шаг 3: Выражение через синус с углом сдвига

Найдём $\varphi$ так, чтобы

$$\sin \varphi = \frac{3}{5}, \quad \cos \varphi = \frac{4}{5}$$

Проверим, что это возможно.

Шаг 4: Докажем, что $\cos \varphi = \frac{4}{5}$, если $\sin \varphi = \frac{3}{5}$

Используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi = 1$$

Подставляем $\sin \varphi = \frac{3}{5}$:

$$\cos \varphi = \sqrt{1 — \sin^2 \varphi} = \sqrt{1 — \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 — \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$$

Шаг 5: Перепишем исходное выражение $y$

$$y = 3 \cos 2x — 4 \sin 2x = 5 \left( \frac{3}{5} \cos 2x — \frac{4}{5} \sin 2x \right)$$

Шаг 6: Используем формулу разности синусов

Известно, что

$$\sin (A — B) = \sin A \cos B — \cos A \sin B$$

Подставим $A = \varphi = \arcsin \frac{3}{5}$, $B = 2x$:

$$\sin \left( \arcsin \frac{3}{5} — 2x \right) = \sin \varphi \cos 2x — \cos \varphi \sin 2x = \frac{3}{5} \cos 2x — \frac{4}{5} \sin 2x$$

Шаг 7: Значит

$$y = 5 \sin (\varphi — 2x), \quad \text{где} \quad \varphi = \arcsin \frac{3}{5}$$

Шаг 8: Определяем область значений

Поскольку $\sin$ принимает значения в диапазоне $[-1;1]$, то

$$-1 \leq \sin (\varphi — 2x) \leq 1$$

Шаг 9: Умножаем на 5

$$-5 \leq y = 5 \sin (\varphi — 2x) \leq 5$$

Итог:

$$y_{\min} = -5, \quad y_{\max} = 5$$