ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 368 Алимов — Подробные Ответы

1. log15(225);
2. log4(256);
3. log3(1/243);
4. log7(1/343).

1. $\log_{15} 225 = \log_{15} 15^2 = 2$;
2. $\log_{4} 256 = \log_{4} 4^4 = 4$;
3. $\log_{3} \frac{1}{243} = \log_{3} \frac{1}{3^5} = \log_{3} 3^{-5} = -5$;
4. $\log_{7} \frac{1}{343} = \log_{7} \frac{1}{7^3} = \log_{7} 7^{-3} = -3$;

1) $\log_{15} 225$

Шаг 1. Заметим, что

$$225 = 15^2,$$

поскольку $15 \cdot 15 = 225$.

Шаг 2. Подставим:

$$\log_{15} 225 = \log_{15} (15^2)$$

Шаг 3. Применим свойство логарифма:

$$\log_b (b^a) = a \Rightarrow \log_{15} (15^2) = 2$$

Ответ:

$$\log_{15} 225 = 2$$

2) $\log_{4} 256$

Шаг 1. Представим 256 как степень числа 4.
Проверим:

• $4^1 = 4$
• $4^2 = 16$
• $4^3 = 64$
• $4^4 = 256$

Значит:

$$256 = 4^4$$

Шаг 2. Подставим:

$$\log_{4} 256 = \log_{4} (4^4)$$

Шаг 3. Используем свойство логарифма:

$$\log_4 (4^4) = 4$$

Ответ:

$$\log_{4} 256 = 4$$

3) $\log_{3} \frac{1}{243}$

Шаг 1. Разложим $243$ как степень числа 3:

$$3^1 = 3,\quad 3^2 = 9,\quad 3^3 = 27,\quad 3^4 = 81,\quad 3^5 = 243 \Rightarrow 243 = 3^5$$

Шаг 2. Тогда:

$$\frac{1}{243} = \frac{1}{3^5} = 3^{-5}$$

Шаг 3. Подставим:

$$\log_{3} \frac{1}{243} = \log_{3} \left( \frac{1}{3^5} \right) = \log_{3} (3^{-5})$$

Шаг 4. Используем свойство логарифма:

$$\log_b (b^a) = a \Rightarrow \log_{3} (3^{-5}) = -5$$

Ответ:

$$\log_{3} \frac{1}{243} = -5$$

4) $\log_{7} \frac{1}{343}$

Шаг 1. Разложим $343$ как степень числа 7:

$$7^1 = 7,\quad 7^2 = 49,\quad 7^3 = 343 \Rightarrow 343 = 7^3$$

Шаг 2. Тогда:

$$\frac{1}{343} = \frac{1}{7^3} = 7^{-3}$$

Шаг 3. Подставим:

$$\log_{7} \frac{1}{343} = \log_{7} \left( \frac{1}{7^3} \right) = \log_{7} (7^{-3})$$

Шаг 4. Используем:

$$\log_7 (7^{-3}) = -3$$

Ответ:

$$\log_{7} \frac{1}{343} = -3$$

Окончательные ответы:

1. $\log_{15} 225 = 2$
2. $\log_{4} 256 = 4$
3. $\log_{3} \frac{1}{243} = -5$
4. $\log_{7} \frac{1}{343} = -3$