ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 833 Алимов — Подробные Ответы

1. 2х + ех;
2. 3х — x^-2;
3. е2x — х;
4. е3х + 2х2;
5. 3×2+2.

1. $f(x) = 2^x + e^x$;
   $f'(x) = (2^x)’ + (e^x)’ = 2^x \cdot \ln 2 + e^x$;
2. $f(x) = 3^x — x^{-2}$;
   $f'(x) = (3^x)’ — (x^{-2})’ = 3^x \cdot \ln 3 + 2x^{-3}$;
3. $f(x) = e^{2x} — x$;
   $f'(x) = (e^{2x})’ — (x)’ = 2e^{2x} — 1$;
4. $f(x) = e^{3x} + 2x^2$;
   $f'(x) = (e^{3x})’ + 2 \cdot (x^2)’ = 3e^{3x} + 2 \cdot 2x = 3e^{3x} + 4x$;
5. $f(x) = 3^{x^2+2}$.
   Пусть $u = x^2 + 2$, тогда $f(u) = 3^u$;
   $f'(x) = (x^2 + 2)’ \cdot (3^u)’ = 2x \cdot 3^u \cdot \ln 3 = 2x \cdot 3^{x^2+2} \cdot \ln 3$

1) $f(x) = 2^x + e^x$

Задача состоит в нахождении производной функции, которая включает экспоненциальную функцию с основанием 2 и с основанием $e$. Для этого применим стандартные правила дифференцирования.

Производная от $2^x$:

Для функции вида $a^x$, где $a$ — это константа, производная будет вычисляться по формуле:

$$\frac{d}{dx} a^x = a^x \ln a$$

Применяя эту формулу к $2^x$, получаем:

$$\frac{d}{dx} 2^x = 2^x \ln 2$$

Производная от $e^x$:

Производная от экспоненциальной функции с основанием $e$ равна самой функции:

$$\frac{d}{dx} e^x = e^x$$

Теперь собираем все вместе:

$$f'(x) = 2^x \ln 2 + e^x$$

2) $f(x) = 3^x — x^{-2}$

Задача состоит в нахождении производной функции, включающей экспоненциальную функцию с основанием 3 и степенную функцию $x^{-2}$.

Производная от $3^x$:

Используем правило для производной экспоненциальной функции с основанием $a$:

$$\frac{d}{dx} 3^x = 3^x \ln 3$$

Производная от $x^{-2}$:

Для степенной функции $x^n$, производная вычисляется по формуле:

$$\frac{d}{dx} x^n = n \cdot x^{n-1}$$

В нашем случае $n = -2$, поэтому:

$$\frac{d}{dx} x^{-2} = -2x^{-3}$$

Теперь собираем все вместе:

$$f'(x) = 3^x \ln 3 — 2x^{-3}$$

3) $f(x) = e^{2x} — x$

Задача состоит в нахождении производной функции, которая включает экспоненциальную функцию $e^{2x}$ и линейную функцию $x$.

Производная от $e^{2x}$:

Здесь применяется правило цепочки, поскольку у нас экспоненциальная функция с аргументом, зависящим от $x$.

$$\frac{d}{dx} e^{2x} = e^{2x} \cdot \frac{d}{dx}(2x)$$

Производная от $2x$ равна 2, следовательно:

$$\frac{d}{dx} e^{2x} = 2e^{2x}$$

Производная от $x$:

Производная от $x$ равна 1:

$$\frac{d}{dx} x = 1$$

Теперь собираем все вместе:

$$f'(x) = 2e^{2x} — 1$$

4) $f(x) = e^{3x} + 2x^2$

Задача состоит в нахождении производной функции, включающей экспоненциальную функцию $e^{3x}$ и полиномиальную функцию $2x^2$.

Производная от $e^{3x}$:

Применяем правило цепочки. У нас экспоненциальная функция с аргументом $3x$.

$$\frac{d}{dx} e^{3x} = e^{3x} \cdot \frac{d}{dx}(3x)$$

Производная от $3x$ равна 3, следовательно:

$$\frac{d}{dx} e^{3x} = 3e^{3x}$$

Производная от $2x^2$:

Для полинома $2x^2$, применяем стандартную формулу для производной:

$$\frac{d}{dx} 2x^2 = 2 \cdot 2x = 4x$$

Теперь собираем все вместе:

$$f'(x) = 3e^{3x} + 4x$$

5) $f(x) = 3^{x^2+2}$

Задача состоит в нахождении производной функции, которая является степенной функцией с основанием 3 и аргументом $x^2 + 2$.

Применение правила цепочки:

Здесь мы имеем сложную функцию, и нам нужно применить правило цепочки. Пусть $u = x^2 + 2$, тогда $f(u) = 3^u$, и мы можем вычислить производную по $u$ и затем умножить на производную от $u$.

Производная от $3^u$:

Для функции $3^u$ применяем правило:

$$\frac{d}{du} 3^u = 3^u \ln 3$$

Производная от $x^2 + 2$:

Теперь нужно найти производную от $x^2 + 2$:

$$\frac{d}{dx} (x^2 + 2) = 2x$$

Теперь собираем все вместе, учитывая, что $u = x^2 + 2$:

$$f'(x) = 2x \cdot 3^{x^2 + 2} \cdot \ln 3$$

Итоговое решение:

1. $f'(x) = 2^x \ln 2 + e^x$
2. $f'(x) = 3^x \ln 3 — 2x^{-3}$
3. $f'(x) = 2e^{2x} — 1$
4. $f'(x) = 3e^{3x} + 4x$
5. $f'(x) = 2x \cdot 3^{x^2 + 2} \cdot \ln 3$