ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1012 Алимов — Подробные Ответы

Найти все числа b > 1, для которых выполняется равенство интеграл (1;b) (b-4x)dx > =6-5b.

$$\int_{1}^{b} (b — 4x) \, dx \geq 6 — 5b, \text{ где } b > 1;$$

Определенный интеграл:

$$\int_{1}^{b} (b — 4x) \, dx = \left( b \cdot \frac{x^1}{1} — 4 \cdot \frac{x^2}{2} \right) \bigg|_{1}^{b} =$$ $$= \left( bx — 2x^2 \right) \bigg|_{1}^{b} =$$ $$= b \cdot b — 2 \cdot b^2 — b \cdot 1 + 2 \cdot 1^2 = b^2 — 2b^2 — b + 2 = 2 — b^2 — b;$$

Неравенство выполняется при:

$$2 — b^2 — b \geq 6 — 5b;$$ $$b^2 + b — 2 \leq 5b — 6;$$ $$b^2 — 4b + 4 \leq 0;$$ $$(b — 2)^2 \leq 0;$$ $$b — 2 = 0, \text{ отсюда } b = 2;$$

Ответ: $b = 2$.

Нам нужно решить неравенство:

$$\int_{1}^{b} (b — 4x) \, dx \geq 6 — 5b, \text{ где } b > 1.$$

Шаг 1: Вычисление определённого интеграла

Начнём с вычисления определённого интеграла:

$$\int_{1}^{b} (b — 4x) \, dx.$$

Раскроем интеграл:

Мы видим, что под интегралом присутствуют два слагаемых, которые можно проинтегрировать по отдельности:

$$\int_{1}^{b} (b — 4x) \, dx = \int_{1}^{b} b \, dx — \int_{1}^{b} 4x \, dx.$$

Интегрируем каждый компонент:

1. Для $b$, так как $b$ является константой, интеграл $\int b \, dx = b \cdot x$.
2. Для $4x$, используя стандартное правило интегрирования степенной функции $\int x \, dx = \frac{x^2}{2}$, получаем $\int 4x \, dx = 2x^2$.

Теперь подставим пределы интегрирования для каждого слагаемого:

$$\int_{1}^{b} b \, dx = b \cdot x \bigg|_1^b = b \cdot b — b \cdot 1 = b^2 — b.$$ $$\int_{1}^{b} 4x \, dx = 2x^2 \bigg|_1^b = 2b^2 — 2 \cdot 1^2 = 2b^2 — 2.$$

Теперь подставим результаты:

$$\int_{1}^{b} (b — 4x) \, dx = (b^2 — b) — (2b^2 — 2) = b^2 — b — 2b^2 + 2 = -b^2 — b + 2.$$

Шаг 2: Неравенство

Теперь подставим полученный результат в исходное неравенство:

$$-b^2 — b + 2 \geq 6 — 5b.$$

Шаг 3: Преобразуем неравенство

Переносим все слагаемые на одну сторону:

$$-b^2 — b + 2 — 6 + 5b \geq 0,$$

что упрощается до:

$$-b^2 + 4b — 4 \geq 0.$$

Умножим обе части неравенства на $-1$, при этом знак неравенства изменится:

$$b^2 — 4b + 4 \leq 0.$$

Шаг 4: Решаем квадратное неравенство

Решаем квадратное неравенство:

$$b^2 — 4b + 4 \leq 0.$$

Это выражение является полным квадратом:

$$(b — 2)^2 \leq 0.$$

Поскольку квадрат любого числа не может быть отрицательным, это неравенство выполняется только в случае, если:

$$b — 2 = 0.$$

Таким образом, $b = 2$.

Шаг 5: Проверка решения

Мы получили, что $b = 2$. Проверим, выполняется ли неравенство при $b = 2$.

Подставим $b = 2$ в исходное неравенство:

$$\int_{1}^{2} (2 — 4x) \, dx \geq 6 — 5 \cdot 2.$$

Вычислим интеграл:

$$\int_{1}^{2} (2 — 4x) \, dx = \left( 2x — 2x^2 \right) \bigg|_1^2 = (2 \cdot 2 — 2 \cdot 2^2) — (2 \cdot 1 — 2 \cdot 1^2) = (4 — 8) — (2 — 2) = -4.$$

Проверим правую часть:

$$6 — 5 \cdot 2 = 6 — 10 = -4.$$

Так как $-4 \geq -4$, неравенство выполняется.

Ответ:

$$b = 2.$$