ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 503 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить sin 2а, если:

1. sin а = — 3/5 и пи/2 < а < пи;
2. cos а = -4/5 и пи < a < 3пи/2.

$\sin a = \frac{3}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < a < \pi$;

Угол $a$ принадлежит второй четверти:

$\cos a = -\sqrt{1 — \sin^2 a};$

$\cos a = -\sqrt{1 — \left( \frac{3}{5} \right)^2} = -\sqrt{\frac{25}{25} — \frac{9}{25}} = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5};$

Синус двойного угла:

$\sin 2a = 2 \sin a \cdot \cos a;$

$\sin 2a = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \left( -\frac{4}{5} \right) = -\frac{24}{25};$

Ответ: $-\frac{24}{25}$.

$\cos a = -\frac{4}{5}$ и $\pi < a < \frac{3\pi}{2}$;

Угол $a$ принадлежит третьей четверти:

$\sin a = -\sqrt{1 — \cos^2 a};$

$\sin a = -\sqrt{1 — \left( -\frac{4}{5} \right)^2} = -\sqrt{\frac{25}{25} — \frac{16}{25}} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5};$

Синус двойного угла:

$\sin 2a = 2 \sin a \cdot \cos a;$

$\sin 2a = 2 \cdot \left( -\frac{3}{5} \right) \cdot \left( -\frac{4}{5} \right) = \frac{24}{25};$

Ответ: $\frac{24}{25}$.

1) $\sin a = \frac{3}{5}$, $\frac{\pi}{2} < a < \pi$

Шаг 1: Определим четверть

• Диапазон $\frac{\pi}{2} < a < \pi$ означает, что угол $a$ во второй четверти.
• Во второй четверти:
  • $\sin a > 0$
  • $\cos a < 0$

Шаг 2: Найдём $\cos a$ по известному $\sin a$

Из основного тригонометрического тождества:

$$\sin^2 a + \cos^2 a = 1 \Rightarrow \cos^2 a = 1 — \sin^2 a$$

Подставим $\sin a = \frac{3}{5} \Rightarrow \sin^2 a = \frac{9}{25}$

$$\cos^2 a = 1 — \frac{9}{25} = \frac{25 — 9}{25} = \frac{16}{25} \Rightarrow \cos a = \pm \frac{4}{5}$$

Выбираем знак:

• Во второй четверти $\cos a < 0 \Rightarrow \cos a = -\frac{4}{5}$

Шаг 3: Применим формулу двойного угла

Формула:

$$\sin(2a) = 2 \sin a \cdot \cos a$$

Подставим:

$$\sin(2a) = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \left( -\frac{4}{5} \right) = \frac{6}{5} \cdot \left( -\frac{4}{5} \right) = -\frac{24}{25}$$

Ответ 1:

$$\boxed{-\frac{24}{25}}$$

2) $\cos a = -\frac{4}{5}$, $\pi < a < \frac{3\pi}{2}$

Шаг 1: Определим четверть

• Диапазон $\pi < a < \frac{3\pi}{2}$ — это третья четверть.
• В третьей четверти:
  • $\cos a < 0$
  • $\sin a < 0$

Шаг 2: Найдём $\sin a$ по известному $\cos a$

Снова используем тождество:

$$\sin^2 a = 1 — \cos^2 a$$

Подставим:

$$\cos a = -\frac{4}{5} \Rightarrow \cos^2 a = \frac{16}{25} \Rightarrow \sin^2 a = 1 — \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \Rightarrow \sin a = \pm \frac{3}{5}$$

Выбираем знак:

• В третьей четверти $\sin a < 0 \Rightarrow \sin a = -\frac{3}{5}$

Шаг 3: Найдём $\sin(2a)$

$$\sin(2a) = 2 \sin a \cdot \cos a = 2 \cdot \left( -\frac{3}{5} \right) \cdot \left( -\frac{4}{5} \right) = 2 \cdot \frac{12}{25} = \frac{24}{25}$$

Ответ 2:

$$\boxed{\frac{24}{25}}$$