ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 607 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить (607—608).

1. arctg 0;
2. arctg (-1);
3. arctg (-корень 3/3);
4. arctg корень 3.

1. $\operatorname{arctg} 0 = 0$;
2. $\operatorname{arctg}(-1) = -\operatorname{arctg} 1 = -\frac{\pi}{4}$;
3. $\operatorname{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\operatorname{arctg} \frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{\pi}{6}$;
4. $\operatorname{arctg} \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$

1. $\operatorname{arctg} 0 = 0$

1. Определение функции арктангенса:
   Функция $\operatorname{arctg}(x)$ (или $\tan^{-1}(x)$) — это обратная функция к тангенсу, которая принимает значение $x$ и возвращает угол $\theta$, такой что:

   $$\tan(\theta) = x, \quad -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}.$$

   То есть, если $y = \operatorname{arctg}(x)$, то это означает, что:

   $$\tan(y) = x, \quad y \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right).$$

   В частности, для $x = 0$, мы ищем такой угол $\theta$, для которого $\tan(\theta) = 0$.

2. Решение:
   Известно, что $\tan(0) = 0$. Таким образом, $\operatorname{arctg}(0) = 0$.

   Ответ:

   $$\operatorname{arctg} 0 = 0.$$

2. $\operatorname{arctg}(-1) = -\operatorname{arctg} 1 = -\frac{\pi}{4}$

1. Определение арктангенса для отрицательного числа:
   Теперь нам нужно найти $\operatorname{arctg}(-1)$. Это означает, что нам нужно найти такой угол $\theta$, для которого $\tan(\theta) = -1$ в интервале $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$.
2. Решение:
   Известно, что $\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1$, так как тангенс угла $-\frac{\pi}{4}$ равен $-1$. Таким образом, $\operatorname{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.
3. Дополнительное замечание:
   Мы можем также записать это как:

   $$\operatorname{arctg}(-1) = -\operatorname{arctg}(1),$$

   потому что $\operatorname{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$, и минус перед арктангенсом можно вынести.

   Ответ:

   $$\operatorname{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}.$$

3. $\operatorname{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\operatorname{arctg} \frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{\pi}{6}$

1. Определение арктангенса для отрицательного числа:
   Нам нужно найти $\operatorname{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$. Это означает, что нам нужно найти такой угол $\theta$, для которого $\tan(\theta) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ в интервале $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$.
2. Решение:
   Известно, что $\tan\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, потому что тангенс угла $-\frac{\pi}{6}$ равен $-\frac{\sqrt{3}}{3}$. Таким образом, $\operatorname{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{\pi}{6}$.
3. Дополнительное замечание:
   Мы также можем записать:

   $$\operatorname{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right),$$

   поскольку $\operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{6}$.

   Ответ:

   $$\operatorname{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{\pi}{6}.$$

4. $\operatorname{arctg} \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$

1. Определение арктангенса для положительного числа:
   Нам нужно найти $\operatorname{arctg} \sqrt{3}$, то есть найти угол $\theta$, для которого $\tan(\theta) = \sqrt{3}$ в интервале $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$.
2. Решение:
   Известно, что $\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$, потому что тангенс угла $\frac{\pi}{3}$ равен $\sqrt{3}$. Таким образом, $\operatorname{arctg} \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$.

   Ответ:

   $$\operatorname{arctg} \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}.$$

Итоговые ответы:

1. $\operatorname{arctg} 0 = 0$,
2. $\operatorname{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$,
3. $\operatorname{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{\pi}{6}$,
4. $\operatorname{arctg} \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$.