ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1339 Алимов — Подробные Ответы

1. |6 — 2х| = Зх + 1;
2. 2|х-2|=|x|-1.

1) $|6 — 2x| = 3x + 1$

Число под знаком модуля:

$6 — 2x \geq 0;$
$2x \leq 6, \text{ отсюда } x \leq 3;$

• Если $x \leq 3$, тогда:
  $6 — 2x = 3x + 1;$
  $-5x = -5, \text{ отсюда } x = 1;$
• Если $x > 3$, тогда:
  $-(6 — 2x) = 3x + 1;$
  $-6 + 2x = 3x + 1;$
  $-x = 7, \text{ отсюда } x = -7;$

Ответ:

$x = 1.$

2) $2|x — 2| = |x| — 1$

Числа под знаком модуля:

$x — 2 \geq 0, \text{ отсюда } x \geq 2;$
$x \geq 0;$

• Если $x \geq 2$, тогда:
  $2(x — 2) = x — 1;$
  $2x — 4 = x — 1;$
  $2x — x = -1 + 4, \text{ отсюда } x = 3;$
• Если $0 \leq x < 2$, тогда:
  $-2(x — 2) = x — 1;$
  $-2x + 4 = x — 1;$
  $-3x = -5, \text{ отсюда } x = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3};$
• Если $x < 0$, тогда:
  $-2(x — 2) = -x — 1;$
  $-2x + 4 = -x — 1;$
  $-x = -5, \text{ отсюда } x = 5;$

Ответ:

$x_1 = 3; \, x_2 = 1 \frac{2}{3}.$

Уравнение 1: $|6 — 2x| = 3x + 1$

Шаг 1: Разбор условий для числа под знаком модуля

Модуль $|6 — 2x|$ предполагает два случая, в зависимости от знака выражения под модулем:

1. Когда $6 — 2x \geq 0$, то $6 — 2x = |6 — 2x|$,
2. Когда $6 — 2x < 0$, то $-(6 — 2x) = |6 — 2x|$.

Давайте сначала найдем условие, при котором $6 — 2x \geq 0$.

$$6 — 2x \geq 0$$ $$2x \leq 6$$ $$x \leq 3.$$

Таким образом, если $x \leq 3$, то используем первый случай. Если $x > 3$, то используем второй случай.

Шаг 2: Рассмотрим два случая

Случай 1: $x \leq 3$

Если $x \leq 3$, то $|6 — 2x| = 6 — 2x$. Подставляем это в исходное уравнение:

$$6 — 2x = 3x + 1.$$

Переносим все элементы с $x$ на одну сторону, а числа — на другую:

$$6 — 2x = 3x + 1$$ $$6 — 1 = 3x + 2x$$ $$5 = 5x$$ $$x = 1.$$

Таким образом, для $x \leq 3$ корень уравнения $x = 1$ удовлетворяет уравнению.

Случай 2: $x > 3$

Если $x > 3$, то $|6 — 2x| = -(6 — 2x) = -6 + 2x$. Подставляем это в исходное уравнение:

$$-6 + 2x = 3x + 1.$$

Теперь решаем полученное уравнение:

$$-6 + 2x = 3x + 1$$ $$-6 — 1 = 3x — 2x$$ $$-7 = x$$

Таким образом, $x = -7$, но это значение не удовлетворяет условию $x > 3$, поскольку $-7$ меньше 3. Следовательно, корень этого уравнения в данном случае не существует.

Ответ:

Корень уравнения $|6 — 2x| = 3x + 1$ при $x \leq 3$ — это $x = 1$.

Уравнение 2: $2|x — 2| = |x| — 1$

Шаг 1: Разбор условий для чисел под знаком модуля

У нас есть два модуля: $|x — 2|$ и $|x|$, для каждого из которых нужно рассматривать два случая в зависимости от знаков выражений под модулями:

Для $|x — 2|$ возможны два случая:

• $x — 2 \geq 0$, когда $x \geq 2$,
• $x — 2 < 0$, когда $x < 2$.

Для $|x|$ возможны два случая:

• $x \geq 0$,
• $x < 0$.

Таким образом, всего существует 4 возможных случая для значения $x$. Рассмотрим их.

Шаг 2: Рассмотрим все 4 случая

Случай 1: $x \geq 2$

Если $x \geq 2$, то $|x — 2| = x — 2$ и $|x| = x$. Подставляем это в уравнение:

$$2(x — 2) = x — 1.$$

Решаем полученное уравнение:

$$2x — 4 = x — 1$$ $$2x — x = -1 + 4$$ $$x = 3.$$

Так как $x = 3 \geq 2$, это решение подходит.

Случай 2: $0 \leq x < 2$

Если $0 \leq x < 2$, то $|x — 2| = 2 — x$ и $|x| = x$. Подставляем это в уравнение:

$$2(2 — x) = x — 1$$ $$4 — 2x = x — 1$$ $$4 + 1 = x + 2x$$ $$5 = 3x$$ $$x = \frac{5}{3} \approx 1.67.$$

Поскольку $1.67$ находится в интервале $0 \leq x < 2$, это решение подходит.

Случай 3: $x < 0$

Если $x < 0$, то $|x — 2| = 2 — x$ и $|x| = -x$. Подставляем это в уравнение:

$$2(2 — x) = -x — 1$$ $$4 — 2x = -x — 1$$ $$4 + 1 = -x + 2x$$ $$5 = x$$

Однако $x = 5$ не подходит для данного случая, так как $x < 0$. Поэтому это решение не подходит.

Шаг 3: Ответ

После рассмотрения всех случаев, мы находим два решения уравнения:

$$x_1 = 3, \quad x_2 = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}.$$

Ответ:

$$x_1 = 3; \, x_2 = 1 \frac{2}{3}.$$

Итоговые ответы:

1. $x = 1$.
2. $x_1 = 3; \, x_2 = 1 \frac{2}{3}.$