ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 314 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить (не используя микрокалькулятор):

1.$$\frac{{\log }_{5}2}{{\log }_{5}6}+\frac{{\log }_{4}3}{{\log }_{4}6}$$

2.$$({\log }_{7}2+\frac{1}{{\log }_{5}7})\cdot \lg 7$$$$$$

3.$$\frac{2{\log }_{2}3}{{\log }_{4}9}$$

1.$$\frac{{\log }_{5}2}{{\log }_{5}6}+\frac{{\log }_{4}3}{{\log }_{4}6}={\log }_{6}2+{\log }_{6}3={\log }_6(2\cdot 3)={\log }_{6}6=1$$

2.$$({\log }_{7}2+\frac{1}{{\log }_{5}7})\cdot \lg 7=({\log }_{7}2+\frac{{\log }_{5}5}{{\log }_{5}7})\cdot \lg 7=$$$$=({\log }_{7}2+{\log }_{7}5)\cdot \frac{{\log }_{7}7}{{\log }_{7}10}={\log }_7(2\cdot 5)\cdot \frac{1}{{\log }_{7}10}=\frac{{\log }_{7}10}{{\log }_{7}10}=1$$

3.$$\frac{2{\log }_{2}3}{{\log }_{4}9}=\frac{2{\log }_{2}3}{{\log }_{2^2}9}=\frac{2{\log }_{2}3}{\frac{1}{2}{\log }_{2}9}=4{\log }_{9}3=4{\log }_9{9}^{\frac{1}{2}}=4\cdot \frac{1}{2}=2$$

Задача 1

$$\frac{{\log }_{5}2}{{\log }_{5}6}+\frac{{\log }_{4}3}{{\log }_{4}6}$$

Шаг 1: Применим формулу смены основания

$$\frac{{\log }_{a}b}{{\log }_{a}c}={\log }_{c}b$$

Применим к каждому слагаемому:

• $\frac{{\log }_{5}2}{{\log }_{5}6}={\log }_{6}2$
• $\frac{{\log }_{4}3}{{\log }_{4}6}={\log }_{6}3$

Шаг 2: Складываем

$${\log }_{6}2+{\log }_{6}3={\log }_6(2\cdot 3)={\log }_{6}6$$

Шаг 3: Логарифм по основанию своего аргумента

$${\log }_{6}6=1$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle 1}}$$

Задача 2

$$({\log }_{7}2+\frac{1}{{\log }_{5}7})\cdot \lg 7$$

Шаг 1: Представим единицу как логарифм

$$\frac{1}{{\log }_{5}7}=\frac{{\log }_{5}5}{{\log }_{5}7}$$

Это можно сделать по определению логарифма:

$${\log }_{b}a=\frac{{\log }_{c}a}{{\log }_{c}b}$$

Шаг 2: Подставим

$$({\log }_{7}2+\frac{{\log }_{5}5}{{\log }_{5}7})\cdot \lg 7$$

Шаг 3: Снова смена основания

$$\frac{{\log }_{5}5}{{\log }_{5}7}={\log }_{7}5\text{и}{\log }_{7}2+{\log }_{7}5={\log }_7(2\cdot 5)={\log }_{7}10$$

Шаг 4: Выразим $\lg 7$ как $\frac{{\log }_{7}7}{{\log }_{7}10}$

По формуле смены основания:

$$\lg 7={\log }_{10}7=\frac{1}{{\log }_{7}10}\text{так как }{\log }_{b}a=\frac{1}{{\log }_{a}b}$$

Шаг 5: Подставим всё

$${\log }_{7}10\cdot \frac{1}{{\log }_{7}10}=1$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle 1}}$$

Задача 3

$$\frac{2{\log }_{2}3}{{\log }_{4}9}$$

Шаг 1: Преобразуем логарифм в знаменателе

$${\log }_{4}9={\log }_{2^2}9=\frac{1}{2}{\log }_{2}9$$

Шаг 2: Подставим в выражение

$$\frac{2{\log }_{2}3}{\frac{1}{2}{\log }_{2}9}=4\cdot \frac{{\log }_{2}3}{{\log }_{2}9}$$

А так как:

$${\log }_{2}9={\log }_2(3^2)=2{\log }_{2}3$$

Шаг 3: Подставим

$$4\cdot \frac{{\log }_{2}3}{2{\log }_{2}3}=4\cdot \frac{1}{2}=2$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle 2}}$$

Итоговый ответ:

$$\boxed{{\displaystyle 1)1;2)1;3)2}}$$