ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 845 Алимов — Подробные Ответы

1. 0,5x * cos 2x;
2. 5 корень x * e^-x;
3. e^(3- 2x) * cos (3 2x).

1) $f(x) = 0,5^x \cdot \cos 2x$;

$f'(x) = (0,5^x)’ \cdot \cos 2x + 0,5^x \cdot (\cos 2x)’$;

$f'(x) = 0,5^x \ln 0,5 \cdot \cos 2x + 0,5^x \cdot 2 \cdot (-\sin 2x)$;

$f'(x) = -0,5^x \ln 2 \cdot \cos 2x — 0,5^x \cdot 2 \sin 2x$;

$f'(x) = -0,5^x \cdot (\ln 2 \cdot \cos 2x + 2 \sin 2x)$;

2) $f(x) = 5 \sqrt{x} \cdot e^{-x}$;

$f'(x) = 5 \left( (\sqrt{x})’ \cdot e^{-x} + \sqrt{x} \cdot (e^{-x})’ \right)$;

$f'(x) = 5 \left( \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{-x} + \sqrt{x} \cdot (-1) \cdot e^{-x} \right)$;

$f'(x) = 5 e^{-x} \cdot \left( \frac{1}{2 \sqrt{x}} — \sqrt{x} \right)$;

$f'(x) = 5 e^{-x} \cdot \frac{1 — 2x}{2 \sqrt{x}}$;

$f'(x) = \frac{5}{2 \sqrt{x}} \cdot (1 — 2x) \cdot e^{-x}$;

3) $f(x) = e^{3-2x} \cdot \cos(3-2x)$;

$f'(x) = (e^{3-2x})’ \cdot \cos(3-2x) + e^{3-2x} \cdot (\cos(3-2x))’$;

$f'(x) = -2 e^{3-2x} \cdot \cos(3-2x) + e^{3-2x} \cdot (-2) \cdot (-\sin(3-2x))$;

$f'(x) = 2 e^{3-2x} \cdot (\sin(3-2x) — \cos(3-2x))$

1) $f(x) = 0,5^x \cdot \cos 2x$

Шаг 1: Находим производную функции $f(x)$

Для нахождения производной от произведения двух функций используем правило произведения:

$$\frac{d}{dx} \left( u(x) \cdot v(x) \right) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$

Здесь $u(x) = 0,5^x$ и $v(x) = \cos 2x$.

1.1. Производная от $u(x) = 0,5^x$

Для нахождения производной от $0,5^x$ используем свойство дифференцирования экспоненциальных функций с основанием $a$:

$$\frac{d}{dx} \left( a^x \right) = a^x \ln a$$

В нашем случае $a = 0,5$, так что:

$$u'(x) = 0,5^x \ln 0,5$$

Поскольку $\ln 0,5 = -\ln 2$, получаем:

$$u'(x) = -0,5^x \ln 2$$

1.2. Производная от $v(x) = \cos 2x$

Используем правило дифференцирования косинуса:

$$\frac{d}{dx} \left( \cos kx \right) = -k \sin kx$$

Здесь $k = 2$, поэтому:

$$v'(x) = -2 \sin 2x$$

Шаг 2: Составляем полную производную

Теперь, применяя правило произведения, получаем полную производную:

$$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$

Подставляем найденные производные:

$$f'(x) = \left( -0,5^x \ln 2 \right) \cdot \cos 2x + 0,5^x \cdot \left( -2 \sin 2x \right)$$

Упрощаем выражение:

$$f'(x) = -0,5^x \ln 2 \cdot \cos 2x — 0,5^x \cdot 2 \sin 2x$$

Вынесем $0,5^x$ за скобки:

$$f'(x) = -0,5^x \left( \ln 2 \cdot \cos 2x + 2 \sin 2x \right)$$

2) $f(x) = 5 \sqrt{x} \cdot e^{-x}$

Шаг 1: Находим производную функции $f(x)$

Опять используем правило произведения:

$$\frac{d}{dx} \left( u(x) \cdot v(x) \right) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$

Здесь $u(x) = 5 \sqrt{x}$ и $v(x) = e^{-x}$.

2.1. Производная от $u(x) = 5 \sqrt{x}$

Сначала перепишем $\sqrt{x}$ как $x^{\frac{1}{2}}$, и применим правило дифференцирования для степенной функции:

$$\frac{d}{dx} \left( x^n \right) = n \cdot x^{n-1}$$

Для $u(x) = 5x^{\frac{1}{2}}$ производная будет:

$$u'(x) = 5 \cdot \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{5}{2 \sqrt{x}}$$

2.2. Производная от $v(x) = e^{-x}$

Используем стандартное правило для дифференцирования экспоненциальных функций:

$$\frac{d}{dx} \left( e^{u(x)} \right) = e^{u(x)} \cdot u'(x)$$

В данном случае $u(x) = -x$, и его производная:

$$u'(x) = -1$$

Так что:

$$v'(x) = -e^{-x}$$

Шаг 2: Составляем полную производную

Теперь, применяя правило произведения, получаем полную производную:

$$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$

Подставляем найденные производные:

$$f'(x) = \left( \frac{5}{2 \sqrt{x}} \right) \cdot e^{-x} + 5 \sqrt{x} \cdot (-e^{-x})$$

Упрощаем:

$$f'(x) = 5 e^{-x} \left( \frac{1}{2 \sqrt{x}} — \sqrt{x} \right)$$

Теперь, объединяем выражения внутри скобок:

$$f'(x) = 5 e^{-x} \cdot \frac{1 — 2x}{2 \sqrt{x}}$$

3) $f(x) = e^{3-2x} \cdot \cos(3-2x)$

Шаг 1: Находим производную функции $f(x)$

Используем правило произведения для $f(x) = u(x) \cdot v(x)$, где $u(x) = e^{3-2x}$ и $v(x) = \cos(3-2x)$.

3.1. Производная от $u(x) = e^{3-2x}$

Для нахождения производной от экспоненциальной функции, используя цепное правило, получаем:

$$\frac{d}{dx} \left( e^{3-2x} \right) = e^{3-2x} \cdot \frac{d}{dx} \left( 3 — 2x \right)$$

Производная от $3 — 2x$ равна $-2$, поэтому:

$$u'(x) = -2 e^{3-2x}$$

3.2. Производная от $v(x) = \cos(3-2x)$

Для нахождения производной от косинуса, опять применяем цепное правило:

$$\frac{d}{dx} \left( \cos u(x) \right) = -\sin u(x) \cdot u'(x)$$

Здесь $u(x) = 3 — 2x$, и его производная:

$$u'(x) = -2$$

Так что:

$$v'(x) = -2 \sin(3-2x)$$

Шаг 2: Составляем полную производную

Теперь, применяя правило произведения, получаем полную производную:

$$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$

Подставляем найденные производные:

$$f'(x) = -2 e^{3-2x} \cdot \cos(3-2x) + e^{3-2x} \cdot (-2) \sin(3-2x)$$

Упрощаем:

$$f'(x) = 2 e^{3-2x} \left( \sin(3-2x) — \cos(3-2x) \right)$$

Ответы:

1. $f'(x) = -0,5^x \cdot (\ln 2 \cdot \cos 2x + 2 \sin 2x)$
2. $f'(x) = \frac{5}{2 \sqrt{x}} \cdot (1 — 2x) \cdot e^{-x}$
3. $f'(x) = 2 e^{3-2x} \cdot (\sin(3-2x) — \cos(3-2x))$