ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1306 Алимов — Подробные Ответы

1. cos2 (a + 2b + sin2 (a — 2b) — 1;
2. sin2 (a + 2b + sin2 (a — 2b) — 1.

${\mathrm{1)\; cos}}^2(\alpha +2\beta )+{\sin }^2(\alpha -2\beta )-1=$

$={\cos }^2(\alpha +2\beta )-(1-{\sin }^2(\alpha -2\beta ))={\cos }^2(\alpha +2\beta )-{\cos }^2(\alpha -2\beta )=$

$=(\cos (\alpha +2\beta )-\cos (\alpha -2\beta ))\cdot (\cos (\alpha +2\beta )+\cos (\alpha -2\beta ))=$

$=-2\cdot \sin \alpha \cdot \sin 2\beta \cdot 2\cdot \cos \alpha \cdot \cos 2\beta =-2\sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot 2\sin 2\beta \cdot \cos 2\beta =$

$=-\sin 2\alpha \cdot \sin 4\beta$;

Ответ: $-\sin 2\alpha \cdot \sin 4\beta$.

${\mathrm{2)\; sin}}^2(\alpha +2\beta )+{\sin }^2(\alpha -2\beta )-1=$

$={\sin }^2(\alpha +2\beta )-(1-{\sin }^2(\alpha -2\beta ))={\sin }^2(\alpha +2\beta )-{\cos }^2(\alpha -2\beta )=$

$=(\sin (\alpha +2\beta )-\cos (\alpha -2\beta ))\cdot (\sin (\alpha +2\beta )-\cos (\alpha -2\beta ))=$

$=(\sin \alpha \cdot \cos 2\beta +\cos \alpha \cdot \sin 2\beta -\cos \alpha \cdot \cos 2\beta -\sin \alpha \cdot \sin 2\beta )\cdot$

$\cdot (\sin \alpha \cdot \cos 2\beta +\cos \alpha \cdot \sin 2\beta +\cos \alpha \cdot \cos 2\beta +\sin \alpha \cdot \sin 2\beta )=$

$=(\sin \alpha \cdot (\cos 2\beta -\sin 2\beta )-\cos \alpha \cdot (\cos 2\beta -\sin 2\beta ))\cdot$

$\cdot (\sin \alpha \cdot (\cos 2\beta +\sin 2\beta )+\cos \alpha \cdot (\cos 2\beta +\sin 2\beta ))=$

$=(\sin \alpha -\cos \alpha )(\sin \alpha +\cos \alpha )(\cos 2\beta -\sin 2\beta )(\cos 2\beta +\sin 2\beta )=$

$=({\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha )({\cos }^{2}2\beta -{\sin }^{2}2\beta )=-\cos 2\alpha \cdot \cos 4\beta$;

Ответ: $-\cos 2\alpha \cdot \cos 4\beta$.

Задача 1

Нам нужно упростить выражение:

$${\cos }^2(\alpha +2\beta )+{\sin }^2(\alpha -2\beta )-1$$

Шаг 1: Используем тождество Пифагора для синуса и косинуса.

Задача начинается с выражения суммы квадратов косинуса и синуса. Мы можем применить стандартное тригонометрическое тождество ${\cos }^2(x)+{\sin }^2(x)=1$, но в данном случае у нас нет общего аргумента для косинуса и синуса. Следовательно, продолжим решение следующим образом:

$${\cos }^2(\alpha +2\beta )+{\sin }^2(\alpha -2\beta )-1$$

Применяем формулу разности квадратов:

$${\cos }^2(\alpha +2\beta )-(1-{\sin }^2(\alpha -2\beta ))={\cos }^2(\alpha +2\beta )-{\cos }^2(\alpha -2\beta )$$

Шаг 2: Разность квадратов.

Используем разность квадратов для выражения ${\cos }^2(x)-{\cos }^2(y)$:

$${\cos }^2(x)-{\cos }^2(y)=(\cos (x)-\cos (y))(\cos (x)+\cos (y))$$

Таким образом, выражение примет вид:

$$(\cos (\alpha +2\beta )-\cos (\alpha -2\beta ))(\cos (\alpha +2\beta )+\cos (\alpha -2\beta ))$$

Шаг 3: Используем формулы для разности и суммы косинусов.

Для вычисления разности и суммы косинусов воспользуемся стандартными тригонометрическими формулами:

$$\cos (x)-\cos (y)=-2\sin \left(\frac{x+y}{2}\right)\sin \left(\frac{x-y}{2}\right)$$$$\cos (x)+\cos (y)=2\cos \left(\frac{x+y}{2}\right)\cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$$

Применим их к нашему выражению:

$$\cos (\alpha +2\beta )-\cos (\alpha -2\beta )=-2\sin \left(\frac{(\alpha +2\beta )+(\alpha -2\beta )}{2}\right)\sin \left(\frac{(\alpha +2\beta )-(\alpha -2\beta )}{2}\right)$$$$=-2\sin (\alpha )\sin (2\beta )$$$$\cos (\alpha +2\beta )+\cos (\alpha -2\beta )=2\cos \left(\frac{(\alpha +2\beta )+(\alpha -2\beta )}{2}\right)\cos \left(\frac{(\alpha +2\beta )-(\alpha -2\beta )}{2}\right)$$$$=2\cos (\alpha )\cos (2\beta )$$

Шаг 4: Подставим в исходное выражение.

Теперь подставим полученные значения для разности и суммы косинусов в исходное выражение:

$$(\cos (\alpha +2\beta )-\cos (\alpha -2\beta ))(\cos (\alpha +2\beta )+\cos (\alpha -2\beta ))=$$

$$=(-2\sin (\alpha )\sin (2\beta ))\cdot (2\cos (\alpha )\cos (2\beta ))$$

Упростим это:

$$=-2\sin (\alpha )\cos (\alpha )\cdot 2\sin (2\beta )\cos (2\beta )$$

Шаг 5: Применим тождества для синусов и косинусов.

Используем стандартные тригонометрические тождества:

$$\sin (2\alpha )=2\sin (\alpha )\cos (\alpha )$$$$\sin (4\beta )=2\sin (2\beta )\cos (2\beta )$$

Таким образом, выражение можно упростить как:

$$=-2\sin (\alpha )\cos (\alpha )\cdot 2\sin (2\beta )\cos (2\beta )=-\sin (2\alpha )\sin (4\beta )$$

Ответ: $-\sin 2\alpha \cdot \sin 4\beta$

Задача 2

Нам нужно упростить выражение:

$${\sin }^2(\alpha +2\beta )+{\sin }^2(\alpha -2\beta )-1$$

Шаг 1: Используем аналогичные преобразования.

Мы применим аналогичное преобразование, как и в первой задаче. Начнем с разности квадратов:

$${\sin }^2(\alpha +2\beta )-(1-{\sin }^2(\alpha -2\beta ))={\sin }^2(\alpha +2\beta )-{\cos }^2(\alpha -2\beta )$$

Шаг 2: Разность квадратов.

Используем формулу для разности квадратов:

$${\sin }^2(x)-{\cos }^2(y)=(\sin (x)-\cos (y))(\sin (x)+\cos (y))$$

Таким образом, выражение примет вид:

$$(\sin (\alpha +2\beta )-\cos (\alpha -2\beta ))(\sin (\alpha +2\beta )+\cos (\alpha -2\beta ))$$

Шаг 3: Раскроем скобки и упростим.

Для того чтобы упростить каждое из произведений, используем раскрытие скобок:

$$(\sin (\alpha +2\beta )-\cos (\alpha -2\beta ))(\sin (\alpha +2\beta )+\cos (\alpha -2\beta ))$$

Рассматриваем каждое произведение отдельно, начиная с первого:

$$=(\sin \alpha \cos 2\beta +\cos \alpha \sin 2\beta -\cos \alpha \cos 2\beta -\sin \alpha \sin 2\beta )$$

И второе произведение:

$$=(\sin \alpha \cos 2\beta +\cos \alpha \sin 2\beta +\cos \alpha \cos 2\beta +\sin \alpha \sin 2\beta )$$

Шаг 4: Упростим.

Теперь сгруппируем подобные члены, получим:

$$(\sin \alpha \cdot (\cos 2\beta -\sin 2\beta )-\cos \alpha \cdot (\cos 2\beta -\sin 2\beta ))\cdot (\sin \alpha \cdot (\cos 2\beta +\sin 2\beta )+$$

$$+\cos \alpha \cdot (\cos 2\beta +\sin 2\beta ))$$

Шаг 5: Разложение на множители.

Теперь раскроем произведение множителей:

$$(\sin \alpha -\cos \alpha )(\sin \alpha +\cos \alpha )(\cos 2\beta -\sin 2\beta )(\cos 2\beta +\sin 2\beta )$$

Шаг 6: Упростим результат.

Используя формулу для разности и суммы косинусов:

$$(\cos 2\beta -\sin 2\beta )(\cos 2\beta +\sin 2\beta )={\cos }^{2}2\beta -{\sin }^{2}2\beta$$

Теперь можем записать итоговое выражение:

$$=({\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha )({\cos }^{2}2\beta -{\sin }^{2}2\beta )=-\cos 2\alpha \cdot \cos 4\beta$$

Ответ: $-\cos 2\alpha \cdot \cos 4\beta$