ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 505 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить tg 2а, если tg а = 0,5.

tg $a=0,5$;

Формула тангенса двойного угла:
$\text{tg }2a=\frac{2\cdot \text{tg }a}{1-{\text{tg}}^{2}a};$

Подставим значения:
$\text{tg }2a=\frac{2\cdot 0,5}{1-(0,5{)}^2}=\frac{1}{1-0,25}=\frac{1}{0,75}=\frac{4}{3}\mathrm{.}$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle \frac{4}{3}}}\mathrm{.}$

Дано:

$$\tan a=\mathrm{0,5}$$

Нужно найти:

$$\tan 2a$$

Шаг 1: Вспоминаем формулу тангенса двойного угла

Формула для тангенса удвоенного угла выражается через тангенс угла $a$:

$$\tan 2a=\frac{2\tan a}{1-{\tan }^{2}a}$$

Эта формула вытекает из формул сложения тангенса:

$$\tan (x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\cdot \tan y}$$

Подставляя $x=y=a$, получаем формулу для двойного угла.

Шаг 2: Подставляем известное значение

Из условия:

$$\tan a=\mathrm{0,5}$$

Вставляем в формулу:

$$\tan 2a=\frac{2\cdot \mathrm{0,5}}{1-(\mathrm{0,5}{)}^2}$$

Шаг 3: Вычисляем числитель

$$2\cdot \mathrm{0,5}=1$$

Шаг 4: Вычисляем знаменатель

$$(\mathrm{0,5}{)}^2=\mathrm{0,5}\times \mathrm{0,5}=\mathrm{0,25}$$

Тогда:

$$1-\mathrm{0,25}=\mathrm{0,75}$$

Шаг 5: Получаем выражение

$$\tan 2a=\frac{1}{\mathrm{0,75}}$$

Шаг 6: Преобразуем дробь

Деление на десятичную дробь удобно заменить на дробь с целыми числами:

$$\mathrm{0,75}=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}$$

Тогда:

$$\tan 2a=\frac{1}{\frac{3}{4}}=1\times \frac{4}{3}=\frac{4}{3}$$

Итог:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{4}{3}}}$$