ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1027 Алимов — Подробные Ответы

Решить дифференциальное уравнение:

1. у’ = 3 — 4х;
2. у’ = 6х2 — 8x + 1;
3. у’ = 3е2х;
4. у’ = 4 cos 2х;
5. у’ = 3 sin х;
6. у’ = cos х — sin х.

1. $y’ = 3 — 4x$;
   $y(x) = 3 \cdot \frac{x^1}{1} — 4 \cdot \frac{x^2}{2} = 3x — 2x^2 + C$;
2. $y’ = 6x^2 — 8x + 1$;
   $y(x) = 6 \cdot \frac{x^3}{3} — 8 \cdot \frac{x^2}{2} + 1 \cdot \frac{x^1}{1} = 2x^3 — 4x^2 + x + C$;
3. $y’ = 3e^{2x}$;
   $y(x) = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot e^{2x} = \frac{3}{2} e^{2x} + C$;
4. $y’ = 4 \cos 2x$;
   $y(x) = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin 2x = 2 \sin 2x + C$;
5. $y’ = 3 \sin x$;
   $y(x) = 3 \cdot (-\cos x) = -3 \cos x + C$;
6. $y’ = \cos x — \sin x$;
   $y(x) = \sin x — (-\cos x) = \sin x + \cos x + C$

Задание 1:

Дано:

$$y’ = 3 — 4x$$

Решение:

Нужно найти первообразную $y(x)$:

$$y(x) = \int (3 — 4x)\,dx$$

Интеграл суммы или разности равен сумме или разности интегралов:

• Интеграл первого слагаемого:

$$\int 3\,dx = 3x$$

• Интеграл второго слагаемого:

$$\int (-4x)\,dx = -4 \cdot \frac{x^2}{2} = -2x^2$$

Таким образом, имеем:

$$y(x) = 3x — 2x^2 + C$$

Задание 2:

Дано:

$$y’ = 6x^2 — 8x + 1$$

Решение:

Найдём первообразную $y(x)$:

$$y(x) = \int (6x^2 — 8x + 1)\,dx$$

Вычисляем интегралы отдельно:

• Первое слагаемое:

$$\int 6x^2\,dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} = 2x^3$$

• Второе слагаемое:

$$\int (-8x)\,dx = -8 \cdot \frac{x^2}{2} = -4x^2$$

• Третье слагаемое:

$$\int 1\,dx = x$$

Таким образом, получается:

$$y(x) = 2x^3 — 4x^2 + x + C$$

Задание 3:

Дано:

$$y’ = 3e^{2x}$$

Решение:

Найдём первообразную $y(x)$:

Используем правило интегрирования экспоненциальной функции:

$$\int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k} e^{kx}, \quad k \neq 0$$

Тогда:

$$y(x) = \int 3e^{2x}\,dx = 3 \cdot \frac{e^{2x}}{2} = \frac{3}{2} e^{2x} + C$$

Задание 4:

Дано:

$$y’ = 4\cos 2x$$

Решение:

Найдём первообразную $y(x)$:

Используем формулу:

$$\int \cos kx\,dx = \frac{\sin kx}{k}, \quad k \neq 0$$

Таким образом:

$$y(x) = 4 \int \cos 2x\,dx = 4 \cdot \frac{\sin 2x}{2} = 2\sin 2x + C$$

Задание 5:

Дано:

$$y’ = 3\sin x$$

Решение:

Найдём первообразную $y(x)$:

Используем формулу:

$$\int \sin x\,dx = -\cos x$$

Тогда:

$$y(x) = 3\int \sin x\,dx = 3(-\cos x) = -3\cos x + C$$

Задание 6:

Дано:

$$y’ = \cos x — \sin x$$

Решение:

Найдём первообразную $y(x)$:

Вычисляем интегралы каждого слагаемого отдельно:

• Первый интеграл:

$$\int \cos x\,dx = \sin x$$

• Второй интеграл:

$$\int (-\sin x)\,dx = -(-\cos x) = \cos x$$

Таким образом, имеем:

$$y(x) = \sin x + \cos x + C$$

Итоговые ответы всех заданий:

1. $y(x) = 3x — 2x^2 + C$
2. $y(x) = 2x^3 — 4x^2 + x + C$
3. $y(x) = \frac{3}{2} e^{2x} + C$
4. $y(x) = 2\sin 2x + C$
5. $y(x) = -3\cos x + C$
6. $y(x) = \sin x + \cos x + C$