ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1587 Алимов — Подробные Ответы

Через точку А (2;-12/5) проведена касательная к параболе у = -3х2/5, пересекающая ось абсцисс в точке В, а ось ординат в точке С. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник ВОС (О — начало координат).

Дана функция $f(x) = -\frac{3}{5}x^2$ и точка $A\left(2; -\frac{12}{5}\right)$.

Точка $A$ принадлежит данной параболе:

$$f(2) = -\frac{3}{5} \cdot 2^2 = -\frac{3}{5} \cdot 4 = -\frac{12}{5};$$

Уравнение касательной в точке $A$:

$$f'(x) = -\frac{3}{5}(x^2)’ = -\frac{3}{5} \cdot 2x = -\frac{6}{5}x;$$ $$f'(2) = -\frac{6}{5} \cdot 2 = -\frac{12}{5};$$ $$y = -\frac{12}{5} — \frac{12}{5}(x — 2) = -\frac{12}{5} — \frac{12}{5}x + \frac{24}{5} = \frac{12}{5}(1 — x);$$

Пересечение касательной с осью $Oy$ ($x = 0$):

$$y(0) = \frac{12}{5}(1 — 0) = \frac{12}{5};$$

Имеем точку $C\left(0; \frac{12}{5}\right)$;

Пересечение касательной с осью $Ox$ ($y = 0$):

$$\frac{12}{5}(1 — x) = 0;$$ $$1 — x = 0, \text{ отсюда } x = 1;$$

Имеем точку $B(1; 0)$.

Площадь треугольника $VOC$ (прямоугольного):

$$S = \frac{1}{2} \cdot OC \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot \frac{12}{5} \cdot 1 = \frac{6}{5};$$

Полупериметр треугольника $VOC$:

$$p = \frac{OC + OB + BC}{2} = \frac{\frac{12}{5} + 1 + \sqrt{\left(\frac{12}{5}\right)^2 + 1^2}}{2} = \frac{\frac{12}{5} + \frac{5}{5} + \sqrt{\frac{144}{25} + \frac{25}{25}}}{2} =$$ $$= \frac{\frac{17}{5} + \sqrt{\frac{169}{25}}}{2} = \left(\frac{17}{5} + \frac{13}{5}\right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{30}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{15}{5} = 3;$$

Радиус вписанной окружности:

$$r = \frac{S}{p} = \frac{\frac{6}{5}}{3} = \frac{2}{5} = 0,4;$$

Ответ: $r = 0,4$.

Дана функция $f(x) = -\frac{3}{5}x^2$ и точка $A\left(2; -\frac{12}{5}\right)$.

Задание состоит из нескольких частей, поэтому давайте разберем все шаги подробно.

Шаг 1: Проверка, что точка $A$ принадлежит графику функции

Для того чтобы удостовериться, что точка $A\left(2; -\frac{12}{5}\right)$ лежит на графике функции $f(x) = -\frac{3}{5}x^2$, подставим $x = 2$ в уравнение функции и проверим, что значение функции совпадает с $y$-координатой точки $A$.

1. Подставим $x = 2$ в $f(x)$:

   $$f(2) = -\frac{3}{5} \cdot 2^2 = -\frac{3}{5} \cdot 4 = -\frac{12}{5}.$$

2. Мы видим, что $f(2) = -\frac{12}{5}$, что совпадает с $y$-координатой точки $A$. Следовательно, точка $A$ действительно принадлежит графику функции.

Шаг 2: Нахождение уравнения касательной в точке $A$

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции в точке $A$, нам необходимо:

• Найти производную функции $f(x)$, чтобы получить угловой коэффициент касательной.
• Подставить $x = 2$ в производную, чтобы найти наклон касательной в точке $A$.
• Используя уравнение прямой в точке, найти уравнение касательной.

Найдем производную функции

Функция $f(x) = -\frac{3}{5}x^2$ является простой параболой. Ее производная будет:

$$f'(x) = -\frac{3}{5} \cdot (x^2)’ = -\frac{3}{5} \cdot 2x = -\frac{6}{5}x.$$

Подставим $x = 2$ в производную

Теперь, чтобы найти наклон касательной в точке $A(2, -\frac{12}{5})$, подставим $x = 2$ в производную:

$$f'(2) = -\frac{6}{5} \cdot 2 = -\frac{12}{5}.$$

Таким образом, угловой коэффициент касательной в точке $A$ равен $-\frac{12}{5}$.

Найдем уравнение касательной

Уравнение касательной к функции в точке $A(x_1, y_1)$ можно записать в виде:

$$y — y_1 = f'(x_1) \cdot (x — x_1),$$

где $f'(x_1)$ — это угловой коэффициент касательной, а $(x_1, y_1)$ — координаты точки касания.

Подставим известные значения:

• $f'(2) = -\frac{12}{5}$,
• $x_1 = 2$,
• $y_1 = -\frac{12}{5}$.

Получим:

$$y — \left( -\frac{12}{5} \right) = -\frac{12}{5} \cdot (x — 2),$$ $$y + \frac{12}{5} = -\frac{12}{5} \cdot (x — 2).$$

Теперь раскроем скобки:

$$y + \frac{12}{5} = -\frac{12}{5} \cdot x + \frac{24}{5}.$$

Отнимем $\frac{12}{5}$ с обеих сторон:

$$y = -\frac{12}{5} \cdot x + \frac{24}{5} — \frac{12}{5},$$ $$y = -\frac{12}{5} \cdot x + \frac{12}{5}.$$

Итак, уравнение касательной в точке $A(2, -\frac{12}{5})$ имеет вид:

$$y = \frac{12}{5} (1 — x).$$

Шаг 3: Пересечение касательной с осями

Пересечение касательной с осью $Oy$ (при $x = 0$)

Подставим $x = 0$ в уравнение касательной:

$$y = \frac{12}{5} (1 — 0) = \frac{12}{5}.$$

Таким образом, касательная пересекает ось $Oy$ в точке $C(0, \frac{12}{5})$.

Пересечение касательной с осью $Ox$ (при $y = 0$)

Подставим $y = 0$ в уравнение касательной:

$$0 = \frac{12}{5}(1 — x).$$

Решим это уравнение:

$$\frac{12}{5}(1 — x) = 0,$$ $$1 — x = 0, \quad \text{отсюда} \quad x = 1.$$

Таким образом, касательная пересекает ось $Ox$ в точке $B(1, 0)$.

Шаг 4: Площадь треугольника $VOC$

Треугольник $VOC$ является прямоугольным, так как одна из его сторон лежит на оси $Ox$, а другая — на оси $Oy$. В этом треугольнике:

• $OC$ — расстояние от точки $O(0, 0)$ до точки $C(0, \frac{12}{5})$, равное $\frac{12}{5}$.
• $OB$ — расстояние от точки $O(0, 0)$ до точки $B(1, 0)$, равное $1$.
• $BC$ — длина гипотенузы, которую можно найти по теореме Пифагора:

  $$BC = \sqrt{OC^2 + OB^2} = \sqrt{\left( \frac{12}{5} \right)^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{144}{25} + \frac{25}{25}} = \sqrt{\frac{169}{25}} = \frac{13}{5}.$$

Площадь треугольника $VOC$ можно вычислить по формуле для площади прямоугольного треугольника:

$$S = \frac{1}{2} \cdot OC \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot \frac{12}{5} \cdot 1 = \frac{6}{5}.$$

Шаг 5: Полупериметр треугольника $VOC$

Полупериметр $p$ треугольника $VOC$ равен половине суммы длин всех его сторон:

$$p = \frac{OC + OB + BC}{2}.$$

Подставим значения:

$$p = \frac{\frac{12}{5} + 1 + \frac{13}{5}}{2} = \frac{\frac{12}{5} + \frac{5}{5} + \frac{13}{5}}{2} = \frac{\frac{30}{5}}{2} = \frac{30}{10} = 3.$$

Шаг 6: Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности $r$ можно найти по формуле:

$$r = \frac{S}{p}.$$

Подставим значения для площади $S$ и полупериметра $p$:

$$r = \frac{\frac{6}{5}}{3} = \frac{2}{5} = 0,4.$$

Ответ:

Радиус вписанной окружности треугольника $VOC$ равен $r = 0,4$.