ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 533 Алимов — Подробные Ответы

1. sin(7пи/6 + a)= -sin(пи/6 + a);
2. sin(5пи/4 + a)= -sin(3пи/4 — a);
3. cos(a- 2пи/3)= -cos(пи/3 + a);
4. cos(a- 2пи/3)= cos(a+ 4пи/3).

1.

$$\sin \left( \frac{7\pi}{6} + a \right) = -\sin \left( \frac{\pi}{6} + a \right);$$ $$\sin \left( \pi + \left( \frac{\pi}{6} + a \right) \right) = -\sin \left( \frac{\pi}{6} + a \right);$$ $$-\sin \left( \frac{\pi}{6} + a \right) = -\sin \left( \frac{\pi}{6} + a \right);$$

Тождество доказано.

2.

$$\sin \left( \frac{5\pi}{4} + a \right) = -\sin \left( \frac{3\pi}{4} — a \right);$$ $$\sin \left( 2\pi + \left( -\frac{3\pi}{4} + a \right) \right) = -\sin \left( \frac{3\pi}{4} — a \right);$$ $$\sin \left( -\frac{3\pi}{4} + a \right) = -\sin \left( \frac{3\pi}{4} — a \right);$$ $$-\sin \left( \frac{3\pi}{4} — a \right) = -\sin \left( \frac{3\pi}{4} — a \right);$$

Тождество доказано.

3.

$$\cos \left( a — \frac{2\pi}{3} \right) = -\cos \left( \frac{\pi}{3} + a \right);$$ $$\cos \left( -2\pi + \left( \frac{4\pi}{3} + a \right) \right) = -\cos \left( \frac{\pi}{3} + a \right);$$ $$\cos \left( \frac{4\pi}{3} + a \right) = -\cos \left( \frac{\pi}{3} + a \right);$$ $$\cos \left( \pi + \left( \frac{\pi}{3} + a \right) \right) = -\cos \left( \frac{\pi}{3} + a \right);$$ $$-\cos \left( \frac{\pi}{3} + a \right) = -\cos \left( \frac{\pi}{3} + a \right);$$

Тождество доказано.

4.

$$\cos \left( a — \frac{2\pi}{3} \right) = \cos \left( a + \frac{4\pi}{3} \right);$$ $$\cos \left( -2\pi + \left( \frac{4\pi}{3} + a \right) \right) = \cos \left( a + \frac{4\pi}{3} \right);$$ $$\cos \left( \frac{4\pi}{3} + a \right) = \cos \left( a + \frac{4\pi}{3} \right);$$

Тождество доказано.

1)

Доказать тождество:

$$\sin\left(\frac{7\pi}{6} + a\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6} + a\right)$$

Шаг 1: Представим $\frac{7\pi}{6}$ как $\pi + \frac{\pi}{6}$

$$\frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6} \quad \Rightarrow \quad \sin\left(\frac{7\pi}{6} + a\right) = \sin\left(\pi + \left(\frac{\pi}{6} + a\right)\right)$$

Шаг 2: Используем формулу синуса суммы с $\pi$

$$\sin(\pi + x) = -\sin x \quad \Rightarrow \quad \sin\left(\pi + \left(\frac{\pi}{6} + a\right)\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6} + a\right)$$

Шаг 3: Подставим обратно

$$\sin\left(\frac{7\pi}{6} + a\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6} + a\right)$$ $$-\sin\left(\frac{\pi}{6} + a\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6} + a\right)$$

Вывод: Тождество доказано.

2)

Доказать тождество:

$$\sin\left(\frac{5\pi}{4} + a\right) = -\sin\left(\frac{3\pi}{4} — a\right)$$

Шаг 1: Представим $\frac{5\pi}{4}$ как $2\pi — \frac{3\pi}{4}$

$$\frac{5\pi}{4} = 2\pi — \frac{3\pi}{4} \quad \Rightarrow \quad \sin\left(\frac{5\pi}{4} + a\right) = \sin\left(2\pi + \left(-\frac{3\pi}{4} + a\right)\right)$$

Шаг 2: Используем периодичность синуса

$$\sin(2\pi + x) = \sin x \quad \Rightarrow \quad \sin\left(2\pi + \left(-\frac{3\pi}{4} + a\right)\right) = \sin\left(-\frac{3\pi}{4} + a\right)$$

Шаг 3: Преобразуем аргумент с минусом

$$\sin(-x) = -\sin x \quad \Rightarrow \quad \sin\left(-\frac{3\pi}{4} + a\right) = -\sin\left(\frac{3\pi}{4} — a\right)$$

Шаг 4: Подставим всё обратно

$$\sin\left(\frac{5\pi}{4} + a\right) = -\sin\left(\frac{3\pi}{4} — a\right)$$ $$-\sin\left(\frac{3\pi}{4} — a\right) = -\sin\left(\frac{3\pi}{4} — a\right)$$

Вывод: Тождество доказано.

3)

Доказать тождество:

$$\cos\left(a — \frac{2\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3} + a\right)$$

Шаг 1: Представим $\frac{2\pi}{3}$ как $-\frac{4\pi}{3}$

$$a — \frac{2\pi}{3} = a + \left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -2\pi + \left(\frac{4\pi}{3} + a\right)$$

Поэтому:

$$\cos\left(a — \frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(-2\pi + \left(\frac{4\pi}{3} + a\right)\right)$$

Шаг 2: Используем периодичность косинуса

$$\cos(-2\pi + x) = \cos x \Rightarrow \cos\left(-2\pi + \left(\frac{4\pi}{3} + a\right)\right) = \cos\left(\frac{4\pi}{3} + a\right)$$

Шаг 3: Представим $\frac{4\pi}{3}$ как $\pi + \frac{\pi}{3}$

$$\frac{4\pi}{3} + a = \pi + \left(\frac{\pi}{3} + a\right) \Rightarrow \cos\left(\frac{4\pi}{3} + a\right) = \cos\left(\pi + \left(\frac{\pi}{3} + a\right)\right)$$

Шаг 4: Используем тождество косинуса суммы с $\pi$

$$\cos(\pi + x) = -\cos x \Rightarrow \cos\left(\pi + \left(\frac{\pi}{3} + a\right)\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3} + a\right)$$

Шаг 5: Подставим всё обратно

$$\cos\left(a — \frac{2\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3} + a\right)$$ $$-\cos\left(\frac{\pi}{3} + a\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3} + a\right)$$

Вывод: Тождество доказано.

4)

Доказать тождество:

$$\cos\left(a — \frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(a + \frac{4\pi}{3}\right)$$

Шаг 1: Перепишем левую часть через период

$$a — \frac{2\pi}{3} = -2\pi + \left(a + \frac{4\pi}{3}\right) \Rightarrow \cos\left(a — \frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(-2\pi + \left(a + \frac{4\pi}{3}\right)\right)$$

Шаг 2: Используем периодичность косинуса

$$\cos(-2\pi + x) = \cos x \Rightarrow \cos\left(-2\pi + \left(a + \frac{4\pi}{3}\right)\right) = \cos\left(a + \frac{4\pi}{3}\right)$$

Шаг 3: Подставим

$$\cos\left(a — \frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(a + \frac{4\pi}{3}\right)$$

Вывод: Тождество доказано.