ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 203 Алимов — Подробные Ответы

Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = 2х на отрезке [-1; 2].

Дана функция: $y = 2^x$;

Функция возрастает на всей числовой прямой:
$2 > 1$;

Наименьшее значение на отрезке $[-1; 2]$:
$y_{\text{min}} = y(-1) = 2^{-1} = \frac{1}{2} = 0,5$;

Наибольшее значение на отрезке $[-1; 2]$:
$y_{\text{max}} = y(2) = 2^2 = 4$;

Ответ: $y_{\text{min}} = 0,5$; $y_{\text{max}} = 4$.

Шаг 1: Анализ функции

Рассмотрим заданную функцию:

$$y = 2^x$$

Это экспоненциальная функция с основанием $2$.

Свойства функции $y = 2^x$:

1. Область определения: $x \in \mathbb{R}$ (функция определена для всех действительных чисел).
2. Множество значений: $y > 0$ (значения функции всегда положительны).
3. Монотонность: функция возрастает на всей числовой прямой, так как основание $2 > 1$.
4. Асимптота: горизонтальная асимптота — прямая $y = 0$.

Шаг 2: Определение минимума и максимума на отрезке $[-1; 2]$

Нам нужно найти наименьшее и наибольшее значения функции на заданном отрезке:

$$[-1; 2]$$

Функция возрастает, следовательно:

• Минимальное значение достигается в левом конце отрезка (при $x = -1$).
• Максимальное значение достигается в правом конце отрезка (при $x = 2$).

Шаг 3: Нахождение минимума

Вычисляем значение функции в точке $x = -1$:

$$y(-1) = 2^{-1} = \frac{1}{2} = 0,5.$$

Значит, наименьшее значение функции на отрезке:

$$y_{\text{min}} = 0,5.$$

Шаг 4: Нахождение максимума

Вычисляем значение функции в точке $x = 2$:

$$y(2) = 2^2 = 4.$$

Значит, наибольшее значение функции на отрезке:

$$y_{\text{max}} = 4.$$

Шаг 5: Окончательный ответ

Таким образом,

$$y_{\text{min}} = 0,5, \quad y_{\text{max}} = 4.$$