ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 83 Алимов — Подробные Ответы

1)$${\left(a^{1+\sqrt{2}}\right)}^{1-\sqrt{2}}=a^{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}=a^{1^2-(\sqrt{2}{)}^2}=a^{1-2}=a^{-1}=\frac{1}{a};$$

Ответ: $\frac{1}{a}$

2)$${\left(\frac{1-\sqrt{5}}{m^{1+\sqrt{5}}}\right)}^{-3}\cdot m^{\frac{3\sqrt{5}}{2}}=m^{-3(1-\sqrt{5})}\cdot m^{\frac{3\sqrt{5}}{2}}=m^{1+\sqrt{5}-3+\frac{3\sqrt{5}}{2}}=$$

$$=m^{\frac{2(3\sqrt{5}-3)+3\sqrt{5}(1+\sqrt{5})}{2(1+\sqrt{5})}}=m^{\frac{6\sqrt{5}-6+3\sqrt{5}+15}{2(1+\sqrt{5})}}=m^{\frac{9+9\sqrt{5}}{2(1+\sqrt{5})}}=m^{2(1+\sqrt{5})}=m^2;$$

Ответ: $m^2$

3)$${\left(a^{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}}\right)}^{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}}=a^{(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9})}=$$

$$=a^{\sqrt[3]{8}-\sqrt[3]{12}+\sqrt[3]{18}+\sqrt[3]{12}-\sqrt[3]{18}+\sqrt[3]{27}}=a^{\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{27}}=a^{2+3}=a^5;$$

Ответ: $a^5$${}^{}$

4)$${\left(a^{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1}\right)}^{1-\sqrt[3]{3}}=a^{(\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1)(1-\sqrt[3]{3})}=a^{\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{9}+1-\sqrt[3]{3}}=$$

$$=a^{-\sqrt[3]{27}+1}=a^{-3+1}=a^{-2}=\frac{1}{a^2};$$

Ответ: $\frac{1}{a^2}$

1)$${\left(a^{1+\sqrt{2}}\right)}^{1-\sqrt{2}}=a^{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}$$

Шаг 1: Применяем свойство степени При возведении степени в степень, перемножаются показатели степени:

$${\left(a^m\right)}^n=a^{m\cdot n}$$

Здесь у нас $m=1+\sqrt{2}$ и $n=1-\sqrt{2}$, следовательно:

$${\left(a^{1+\sqrt{2}}\right)}^{1-\sqrt{2}}=a^{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}$$

Шаг 2: Применяем формулу разности квадратов Используем формулу разности квадратов:

$$(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})=1^2-(\sqrt{2}{)}^2=1-2=-1$$

Таким образом, получаем:

$$a^{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}=a^{-1}$$

Шаг 3: Записываем итоговый результат

$$a^{-1}=\frac{1}{a}$$

Ответ: $\frac{1}{a}$$\frac{\mathrm{}}{}$

2)$${\left(\frac{1-\sqrt{5}}{m^{1+\sqrt{5}}}\right)}^{-3}\cdot m^{\frac{3\sqrt{5}}{2}}$$

Шаг 1: Обработка отрицательной степени При возведении дроби в отрицательную степень, она инвертируется:

$${\left(\frac{1-\sqrt{5}}{m^{1+\sqrt{5}}}\right)}^{-3}={\left(m^{1+\sqrt{5}}\right)}^3\cdot (1-\sqrt{5}{)}^{-3}$$

Теперь у нас есть выражение:

$$m^{3(1+\sqrt{5})}\cdot (1-\sqrt{5}{)}^{-3}$$

Шаг 2: Умножение на $m^{\frac{3\sqrt{5}}{2}}$

Далее, умножаем на второй множитель:

$$m^{3(1+\sqrt{5})}\cdot m^{\frac{3\sqrt{5}}{2}}=m^{3(1+\sqrt{5})+\frac{3\sqrt{5}}{2}}$$

Распишем выражение в показателе:

$$3(1+\sqrt{5})=3+3\sqrt{5}$$

Таким образом, получаем:

$$m^{3+3\sqrt{5}+\frac{3\sqrt{5}}{2}}=m^{3+\frac{9\sqrt{5}}{2}}$$

Шаг 3: Упрощение выражения Теперь приводим подобные слагаемые. Приведем все слагаемые к общему знаменателю:

$$m^{3+\frac{9\sqrt{5}}{2}}=m^{\frac{6+9\sqrt{5}}{2}}$$

Это можно упростить до:

$$m^{2(1+\sqrt{5})}$$

Шаг 4: Окончательное упрощение Наконец, получаем результат:

$$m^{2(1+\sqrt{5})}=m^2$$

Ответ: $m^2$

3)

$${\left(a^{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}}\right)}^{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}}$$

Шаг 1: Применяем правило возведения степени в степень Используем правило для степени степени:

$${\left(a^m\right)}^n=a^{m\cdot n}$$

Здесь $m=\sqrt[3]{2}+\text{exception 25:}$ и $n=\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}$$$$\text{exception 25:}$. Следовательно:

$${\left(a^{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}}\right)}^{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}}=a^{(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3})\cdot (\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9})}$$

Шаг 2: Раскрытие скобок Теперь раскрываем скобки:

$$(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9})$$

Каждое слагаемое будет выглядеть следующим образом:

$$\sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{8},\sqrt[3]{2}\cdot (-\sqrt[3]{6})=-\sqrt[3]{12},\sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{18}$$

$$\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{12},\sqrt[3]{3}\cdot (-\sqrt[3]{6})=-\sqrt[3]{18},\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{27}$$

Теперь складываем все результаты:

$$\sqrt[3]{8}-\sqrt[3]{12}+\sqrt[3]{18}+\sqrt[3]{12}-\sqrt[3]{18}+\sqrt[3]{27}$$

Слагаемые $\sqrt[3]{12}$и $\sqrt[3]{18}$сокращаются, оставляя:

$$\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{27}=2+3=5$$

Шаг 3: Итоговое выражение Итак, мы получаем:

$$a^5$$

Ответ: $a^5$

4)

$${\left(a^{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1}\right)}^{1-\sqrt[3]{3}}$$

Шаг 1: Применяем правило возведения степени в степень Используем формулу для степени степени:

$${\left(a^m\right)}^n=a^{m\cdot n}$$

Здесь $m=\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1$ и $n=1-\sqrt[3]{3}$. Следовательно:

$${\left(a^{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1}\right)}^{1-\sqrt[3]{3}}=a^{(\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1)(1-\sqrt[3]{3})}$$

Шаг 2: Раскрытие скобок Теперь раскрываем скобки:

$$(\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1)(1-\sqrt[3]{3})=\sqrt[3]{9}\cdot 1-\sqrt[3]{9}\cdot \sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{3}\cdot 1-\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[3]{3}+1\cdot 1-1\cdot \sqrt[3]{3}$$

Рассчитываем каждое произведение:

$$\sqrt[3]{9}\cdot 1=\sqrt[3]{9},\sqrt[3]{9}\cdot \sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{27},\sqrt[3]{3}\cdot 1=\sqrt[3]{3},\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{9},1\cdot 1=1$$

Теперь получаем:

$$\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{9}+1-\sqrt[3]{3}$$

Слагаемые $\sqrt[3]{9}$и $\sqrt[3]{3}$сокращаются, и получаем:

$$-\sqrt[3]{27}+1=-3+1=-2$$

Шаг 3: Итоговое выражение Итак, мы получаем:

$$a^{-2}=\frac{1}{a^2}$$

Ответ:$$\frac{1}{a^2}$$