ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 682 Алимов — Подробные Ответы

cos2 x + cos2 2x + cos2 3x=3/2.

$$\cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x = \frac{3}{2};$$ $$\cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x = \frac{1}{2}(\cos^2 x + \sin^2 x) + \frac{1}{2}(\cos^2 2x + \sin^2 2x) +$$ $$+ \frac{1}{2}(\cos^2 3x + \sin^2 3x);$$ $$\frac{1}{2}(\cos^2 x — \sin^2 x) + \frac{1}{2}(\cos^2 2x — \sin^2 2x) + \frac{1}{2}(\cos^2 3x — \sin^2 3x) = 0;$$ $$\frac{1}{2}(\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x) = 0;$$ $$\cos 2x + \cos 6x + \cos 4x = 0;$$ $$2 \cdot \cos \frac{6x — 2x}{2} \cdot \cos \frac{6x + 2x}{2} + \cos 4x = 0;$$ $$2 \cdot \cos 2x \cdot \cos 4x + \cos 4x = 0;$$ $$\cos 4x \cdot (2 \cos 2x + 1) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos 4x = 0;$$ $$4x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4};$$

Второе уравнение:

$$2 \cos 2x + 1 = 0;$$ $$2 \cos 2x = -1;$$ $$\cos 2x = -\frac{1}{2};$$ $$2x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \cdot \left( \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right) = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n;$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, \quad \pm \frac{\pi}{3} + \pi n.}$$

Дано уравнение:

$$\cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x = \frac{3}{2}.$$

Шаг 1. Используем основное тригонометрическое тождество:

Известно, что

$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.$$

Мы можем добавить и вычесть синус в каждом слагаемом, чтобы упростить выражение. Представим каждое слагаемое в виде суммы с помощью единицы:

$$\cos^2 x = \frac{1}{2}(\cos^2 x + \sin^2 x),$$

но это просто равносильно единице, поэтому сделаем так для всех трёх слагаемых:

$$\cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x = \frac{1}{2}(\cos^2 x + \sin^2 x) + \frac{1}{2}(\cos^2 2x + \sin^2 2x) + \frac{1}{2}(\cos^2 3x + \sin^2 3x).$$

Так как $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$, то

$$\frac{1}{2}(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}.$$

Шаг 2. Перепишем исходное уравнение:

Подставим эту сумму:

$$\cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}.$$

Но исходное уравнение уже равно $\frac{3}{2}$, значит мы можем переписать левую часть через разности:

$$\cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x = \frac{1}{2}(\cos^2 x + \sin^2 x) + \frac{1}{2}(\cos^2 2x + \sin^2 2x) + \frac{1}{2}(\cos^2 3x + \sin^2 3x).$$

Воспользуемся формулой разности:

$$\cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha.$$

Шаг 3. Запишем разность $\cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha$ для каждого слагаемого:

$$\frac{1}{2}(\cos^2 x — \sin^2 x) + \frac{1}{2}(\cos^2 2x — \sin^2 2x) + \frac{1}{2}(\cos^2 3x — \sin^2 3x) = 0.$$

Из формулы:

$$\cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha,$$

поэтому:

$$\frac{1}{2} \cos 2x + \frac{1}{2} \cos 4x + \frac{1}{2} \cos 6x = 0.$$

Шаг 4. Упростим:

$$\frac{1}{2}(\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x) = 0.$$

Умножим обе части на 2:

$$\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = 0.$$

Шаг 5. Используем формулу суммы косинусов:

Формула для суммы двух косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}.$$

Применим к первым двум слагаемым $\cos 2x + \cos 6x$:

$$\cos 2x + \cos 6x = 2 \cos \frac{6x + 2x}{2} \cos \frac{6x — 2x}{2} = 2 \cos 4x \cos 2x.$$

Шаг 6. Подставляем обратно в уравнение:

$$2 \cos 4x \cos 2x + \cos 4x = 0.$$

Шаг 7. Вынесем $\cos 4x$ за скобки:

$$\cos 4x (2 \cos 2x + 1) = 0.$$

Шаг 8. Решаем уравнение произведения:

Чтобы произведение было равно нулю, достаточно чтобы один из множителей был равен нулю.

Первое уравнение:

$$\cos 4x = 0.$$

Второе уравнение:

$$2 \cos 2x + 1 = 0.$$

Шаг 9. Решаем первое уравнение:

$$\cos 4x = 0.$$

Общее решение уравнения $\cos \theta = 0$:

$$\theta = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Заменяем $\theta = 4x$:

$$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n,$$

откуда

$$x = \frac{1}{4} \left(\frac{\pi}{2} + \pi n\right) = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}.$$

Шаг 10. Решаем второе уравнение:

$$2 \cos 2x + 1 = 0,$$ $$2 \cos 2x = -1,$$ $$\cos 2x = -\frac{1}{2}.$$

Шаг 11. Решаем уравнение $\cos \alpha = -\frac{1}{2}$:

Общее решение для $\cos \alpha = -\frac{1}{2}$ — значения $\alpha$ в интервале $[0, 2\pi)$:

$$\alpha = \frac{2\pi}{3} \quad \text{или} \quad \alpha = \frac{4\pi}{3}.$$

Общее решение с учётом периодичности косинуса:

$$\alpha = \pm \frac{2\pi}{3} + 2 \pi n.$$

Заменяем $\alpha = 2x$:

$$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2 \pi n,$$

откуда

$$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n.$$

Ответ:

$$\boxed{ \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, \quad \pm \frac{\pi}{3} + \pi n. }$$