ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1038 Алимов — Подробные Ответы

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (1038—1039).

1. у = 1/x, у= 4х, х = 1, у = 0;
2. у = 1/x2, у = х, х = 2, у = 0;
3. у = х2 + 1, у = х + 1;
4. у = х2 + 2, у = 2х + 2.

1) $y = \frac{1}{x}$, $y = 4x$, $x = 1$, $y = 0$;

Точки пересечения функций:

$$\frac{1}{x} = 4x;$$ $$1 = 4x^2;$$ $$x^2 = \frac{1}{4}, \text{отсюда } x = \pm \frac{1}{2};$$

Первая функция:

$$\frac{1}{x} > 0, \text{отсюда } x > 0;$$

Вторая функция:

$$4x > 0, \text{отсюда } x > 0;$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{0.5}^{1} 4x \, dx + \int_{0.5}^{1} \frac{1}{x} \, dx = \left( 4 \cdot \frac{x^2}{2} \right) \bigg|_{0.5}^{1} + \ln x \bigg|_{0.5}^{1} = 2x^2 \bigg|_{0.5}^{1} + \ln x \bigg|_{0.5}^{1} =$$ $$= 2 \cdot 0.5^2 — 2 \cdot 0^2 + \ln 1 — \ln 0.5 = 2 \cdot 0.25 — 0 + 0 — \ln 0.5 = \frac{1}{2} — \ln \frac{1}{2};$$

Ответ: $\boxed{\frac{1}{2} — \ln \frac{1}{2}}$.

2) $y = \frac{1}{x^2}$, $y = x$, $x = 2$, $y = 0$;

Точки пересечения функций:

$$\frac{1}{x^2} = x;$$ $$1 = x^3, \text{отсюда } x = 1;$$

Первая функция:

$$\frac{1}{x^2} > 0, \text{отсюда } x \neq 0;$$

Вторая функция:

$$x > 0;$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{0}^{1} x \, dx + \int_{1}^{2} x^{-2} \, dx = \frac{x^2}{2} \bigg|_{0}^{1} + \left( x^{-1} : (-1) \right) \bigg|_{1}^{2} = \frac{x^2}{2} \bigg|_{0}^{1} + \left( -\frac{1}{x} \right) \bigg|_{1}^{2} =$$ $$= \frac{1^2 — 0^2}{2} + \left( -\frac{1}{2} \right) — \left( -\frac{1}{1} \right) = \frac{1}{2} — 0 — \frac{1}{2} + 1 = 1;$$

Ответ: $\boxed{1}$.

3) $y = x^2 + 1$ и $y = x + 1$;

Точки пересечения функций:

$$x^2 + 1 = x + 1;$$ $$x^2 — x = 0;$$ $$x \cdot (x — 1) = 0;$$ $$x_1 = 0 \text{ и } x_2 = 1;$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{0}^{1} \left( (x + 1) — (x^2 + 1) \right) dx = \left( \frac{x^2}{2} + x — \left( \frac{x^3}{3} + x \right) \right) \bigg|_{0}^{1} = \left( \frac{x^2}{2} — \frac{x^3}{3} \right) \bigg|_{0}^{1};$$ $$S = \frac{1^2}{2} — \frac{1^3}{3} — \frac{0^2}{2} + \frac{0^3}{3} = \frac{1}{2} — \frac{1}{3} = \frac{3 — 2}{6} = \frac{1}{6};$$

Ответ: $\boxed{\frac{1}{6}}$.

4) $y = x^2 + 2$ и $y = 2x + 2$;

Точки пересечения функций:

$$x^2 + 2 = 2x + 2;$$ $$x^2 — 2x = 0;$$ $$x \cdot (x — 2) = 0;$$ $$x_1 = 0 \text{ и } x_2 = 2;$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{0}^{2} \left( (2x + 2) — (x^2 + 2) \right) dx = \int_{0}^{2} (2x — x^2) \, dx = \left( 2 \cdot \frac{x^2}{2} — \frac{x^3}{3} \right) \bigg|_{0}^{2} =$$ $$= \left( x^2 — \frac{x^3}{3} \right) \bigg|_{0}^{2} = 2^2 — \frac{2^3}{3} — 0^2 + \frac{0^3}{3} = 4 — \frac{8}{3} = 4 — 2 \frac{2}{3} = 1 \frac{1}{3};$$

Ответ: $\boxed{1 \frac{1}{3}}$.

Задача 1: Найти площадь криволинейной трапеции

Функции:

• $y = \frac{1}{x}$
• $y = 4x$
• Границы по x: от 0 до 1

Шаг 1: Найдём точку пересечения функций

Решим уравнение:

$$\frac{1}{x} = 4x \Rightarrow 1 = 4x^2 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{2}$$

Берем только $x = \frac{1}{2}$, т.к. область $x > 0$.

Шаг 2: Определим границы интегрирования

• Левая граница: $x = 0$
• Точка пересечения: $x = 0.5$
• Правая граница: $x = 1$

Шаг 3: Построим площадь между графиками

Площадь будет состоять из двух частей:

1. От 0 до 0.5 — под графиком $y = 4x$
2. От 0.5 до 1 — под графиком $y = \frac{1}{x}$

Шаг 4: Выразим площадь через интегралы

$$S = \int_0^{0.5} 4x \, dx + \int_{0.5}^{1} \frac{1}{x} \, dx$$

Шаг 5: Вычислим каждый интеграл

Первый интеграл:

$$\int_0^{0.5} 4x \, dx = 4 \cdot \int_0^{0.5} x \, dx = 4 \cdot \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{0.5} = 4 \cdot \left( \frac{0.5^2}{2} \right) = 4 \cdot \frac{0.25}{2} = 4 \cdot 0.125 = 0.5$$

Второй интеграл:

$$\int_{0.5}^{1} \frac{1}{x} \, dx = \left[ \ln x \right]_{0.5}^{1} = \ln 1 — \ln 0.5 = 0 — \ln 0.5 = -\ln 0.5 = \ln 2$$

Шаг 6: Ответ

$$S = 0.5 — \ln 0.5 = \frac{1}{2} — \ln \frac{1}{2}$$

Итог:

$$\boxed{S = \frac{1}{2} — \ln \frac{1}{2}}$$

Задача 2: Найти площадь криволинейной трапеции

Даны функции:

• $y = \frac{1}{x^2}$
• $y = x$
• Границы: от $x = 1$ до $x = 2$

Шаг 1: Найдём точку пересечения функций

$$\frac{1}{x^2} = x \quad \Rightarrow \quad 1 = x^3 \quad \Rightarrow \quad x = 1$$

Точка пересечения — $x = 1$

Шаг 2: Установим границы интегрирования

Функции пересекаются при $x = 1$, а правая граница дана как $x = 2$, левая также будет $x = 1$. Значит, площадь берётся между $x = 1$ и $x = 2$.

Шаг 3: Определим, какая функция сверху

На отрезке $[1, 2]$:

• $y = x$ — возрастающая линейная функция.
• $y = \frac{1}{x^2}$ — убывающая гипербола.

Подставим $x = 1.5$:

• $y = x = 1.5$
• $y = \frac{1}{(1.5)^2} = \frac{1}{2.25} < 1$

Значит, сверху будет $y = x$, а снизу — $y = \frac{1}{x^2}$

Шаг 4: Выразим площадь через интеграл

$$S = \int_{1}^{2} \left(x — \frac{1}{x^2} \right) dx$$

Шаг 5: Вычислим интеграл

Разделим на 2 части:

$$\int_{1}^{2} x \, dx — \int_{1}^{2} x^{-2} dx$$

Первая часть:

$$\int_{1}^{2} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^2 = \frac{2^2}{2} — \frac{1^2}{2} = \frac{4}{2} — \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$

Вторая часть:

$$\int_{1}^{2} x^{-2} dx = \left[ \frac{-1}{x} \right]_1^2 = -\frac{1}{2} + \frac{1}{1} = \frac{1}{2}$$

Шаг 6: Вычислим итоговую площадь

$$S = \frac{3}{2} — \frac{1}{2} = \boxed{1}$$

Ответ: $\boxed{1}$

Задача 3: Найти площадь криволинейной трапеции

Даны функции:

• $y = x^2 + 1$ — парабола
• $y = x + 1$ — прямая

Шаг 1: Найдём точки пересечения графиков

Приравниваем:

$$x^2 + 1 = x + 1 \Rightarrow x^2 — x = 0 \Rightarrow x(x — 1) = 0 \Rightarrow x = 0 \quad \text{или} \quad x = 1$$

То есть графики пересекаются в точках:

• $x = 0$
• $x = 1$

Шаг 2: Определим, какая функция сверху на интервале [0;1]

Выберем любую точку, например, $x = 0.5$:

• $y_1 = x^2 + 1 = (0.5)^2 + 1 = 0.25 + 1 = 1.25$
• $y_2 = x + 1 = 0.5 + 1 = 1.5$

Значит, на отрезке сверху — $y = x + 1$, снизу — $y = x^2 + 1$

Шаг 3: Выразим площадь как разность интегралов

$$S = \int_0^1 \left( (x + 1) — (x^2 + 1) \right) dx = \int_0^1 (x — x^2) dx$$

Шаг 4: Посчитаем интеграл

Разделим:

$$\int_0^1 x \, dx — \int_0^1 x^2 \, dx$$

Первый интеграл:

$$\int_0^1 x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{2} — 0 = \frac{1}{2}$$

Второй интеграл:

$$\int_0^1 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3} — 0 = \frac{1}{3}$$

Шаг 5: Итоговая площадь

$$S = \frac{1}{2} — \frac{1}{3} = \frac{3 — 2}{6} = \boxed{\frac{1}{6}}$$

Ответ: $\boxed{\frac{1}{6}}$

Задача 4: Найти площадь криволинейной трапеции

Функции:

• $y = x^2 + 2$ — парабола (ветви вверх, сдвинута на 2 по y)
• $y = 2x + 2$ — прямая (наклонная, пересекает ось y в точке (0, 2))

Шаг 1: Найдём точки пересечения функций

Приравниваем:

$$x^2 + 2 = 2x + 2 \Rightarrow x^2 — 2x = 0 \Rightarrow x(x — 2) = 0 \Rightarrow x = 0 \quad \text{и} \quad x = 2$$

Значит, графики пересекаются при:

• $x = 0$
• $x = 2$

Шаг 2: Определим, какая функция выше

Выберем точку внутри отрезка, например, $x = 1$:

• $y_1 = x^2 + 2 = 1^2 + 2 = 3$
• $y_2 = 2x + 2 = 2 \cdot 1 + 2 = 4$

Значит, на всём отрезке [0; 2]:

• сверху — $y = 2x + 2$
• снизу — $y = x^2 + 2$

Шаг 3: Составим выражение для площади

$$S = \int_0^2 \left[(2x + 2) — (x^2 + 2)\right] dx = \int_0^2 (2x — x^2) dx$$

Шаг 4: Разделим интеграл

$$S = \int_0^2 2x \, dx — \int_0^2 x^2 \, dx$$

Шаг 5: Вычислим интегралы

1-й интеграл:

$$\int_0^2 2x \, dx = 2 \cdot \int_0^2 x \, dx = 2 \cdot \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = 2 \cdot \left( \frac{4}{2} \right) = 2 \cdot 2 = 4$$

2-й интеграл:

$$\int_0^2 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \frac{8}{3} — 0 = \frac{8}{3}$$

Шаг 6: Вычитаем

$$S = 4 — \frac{8}{3} = \frac{12}{3} — \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$$

Ответ: