ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 692 Алимов — Подробные Ответы

Найти множество значений функции:

1. у = 1 + sin х;
2. у = 1 — cos х;
3. у — 2 sinx + 3;
4. y = 1 — 4 cos 2x;
5. у = sin 2x cos 2x + 2;
6. у = 1/2 sin x cos x — 1.

1. $y = 1 + \sin x$;
   $-1 \leq \sin x \leq 1$;
   $0 \leq 1 + \sin x \leq 2$;
   Ответ: $E(y) = [0; 2]$.
2. $y = 1 — \cos x$;
   $-1 \leq \cos x \leq 1$;
   $-1 \leq -\cos x \leq 1$;
   $0 \leq 1 — \cos x \leq 2$;
   Ответ: $E(y) = [0; 2]$.
3. $y = 2 \sin x + 3$;
   $-1 \leq \sin x \leq 1$;
   $-2 \leq 2 \sin x \leq 2$;
   $1 \leq 2 \sin x + 3 \leq 5$;
   Ответ: $E(y) = [1; 5]$.
4. $y = 1 — 4 \cos 2x$;
   $-1 \leq \cos 2x \leq 1$;
   $-4 \leq -4 \cos 2x \leq 4$;
   $-3 \leq 1 — 4 \cos 2x \leq 5$;
   Ответ: $E(y) = [-3; 5]$.
5. $y = \sin 2x \cdot \cos 2x + 2 = \frac{1}{2} \sin 4x + 2$;
   $-1 \leq \sin 4x \leq 1$;
   $-\frac{1}{2} \leq \frac{1}{2} \sin 4x \leq \frac{1}{2}$;
   $\frac{3}{2} \leq \frac{1}{2} \sin 4x + 2 \leq \frac{5}{2}$;
   Ответ: $E(y) = [1,5; 2,5]$.
6. $y = \frac{1}{2} \sin x \cdot \cos x — 1 = \frac{1}{4} \sin 2x — 1$;
   $-1 \leq \sin 2x \leq 1$;
   $-\frac{1}{4} \leq \frac{1}{4} \sin 2x \leq \frac{1}{4}$;
   $-\frac{5}{4} \leq \frac{1}{4} \sin 2x — 1 \leq -\frac{3}{4}$;
   Ответ: $E(y) = [-1,25; -0,75]$.

Для всех тригонометрических функций $\sin x$ и $\cos x$ справедливо, что:

$$-1 \leq \sin x \leq 1, \quad -1 \leq \cos x \leq 1 \quad \forall x \in \mathbb{R}$$

Это фундаментальные свойства синуса и косинуса, которые мы будем использовать для нахождения диапазонов значений функций $y$.

1) $y = 1 + \sin x$

• Известно, что $\sin x$ меняется от -1 до 1:

$$-1 \leq \sin x \leq 1$$

• Добавляем 1 ко всем частям неравенства:

$$-1 + 1 \leq \sin x + 1 \leq 1 + 1$$ $$0 \leq 1 + \sin x \leq 2$$

• Значит, функция $y = 1 + \sin x$ принимает все значения в промежутке от 0 до 2.

Ответ:

$$E(y) = [0; 2]$$

2) $y = 1 — \cos x$

• Аналогично, $\cos x$ принимает значения от -1 до 1:

$$-1 \leq \cos x \leq 1$$

• Умножаем на $-1$, меняя знак неравенства:

$$1 \geq -\cos x \geq -1$$

или

$$-1 \leq -\cos x \leq 1$$

• Складываем с 1:

$$1 — 1 \leq 1 — \cos x \leq 1 + 1$$ $$0 \leq 1 — \cos x \leq 2$$

• Значит, функция $y = 1 — \cos x$ принимает все значения от 0 до 2.

Ответ:

$$E(y) = [0; 2]$$

3) $y = 2 \sin x + 3$

• Используем диапазон для $\sin x$:

$$-1 \leq \sin x \leq 1$$

• Умножаем на 2:

$$-2 \leq 2 \sin x \leq 2$$

• Прибавляем 3 ко всем частям:

$$-2 + 3 \leq 2 \sin x + 3 \leq 2 + 3$$ $$1 \leq 2 \sin x + 3 \leq 5$$

• Значит, функция $y = 2 \sin x + 3$ принимает значения в промежутке от 1 до 5.

Ответ:

$$E(y) = [1; 5]$$

4) $y = 1 — 4 \cos 2x$

• Для $\cos 2x$ справедливо то же, что и для $\cos x$:

$$-1 \leq \cos 2x \leq 1$$

• Умножаем на $-4$:

$$-4 \leq -4 \cos 2x \leq 4$$

• Прибавляем 1:

$$-4 + 1 \leq 1 — 4 \cos 2x \leq 4 + 1$$ $$-3 \leq 1 — 4 \cos 2x \leq 5$$

• Значит, функция $y = 1 — 4 \cos 2x$ принимает значения от -3 до 5.

Ответ:

$$E(y) = [-3; 5]$$

5) $y = \sin 2x \cdot \cos 2x + 2 = \frac{1}{2} \sin 4x + 2$

• Используем формулу двойного угла для синуса:

$$\sin 2x \cdot \cos 2x = \frac{1}{2} \sin 4x$$

• Известно, что:

$$-1 \leq \sin 4x \leq 1$$

• Умножаем на $\frac{1}{2}$:

$$-\frac{1}{2} \leq \frac{1}{2} \sin 4x \leq \frac{1}{2}$$

• Прибавляем 2:

$$-\frac{1}{2} + 2 \leq \frac{1}{2} \sin 4x + 2 \leq \frac{1}{2} + 2$$ $$\frac{3}{2} \leq y \leq \frac{5}{2}$$

• Переводим в десятичный вид для удобства:

$$1{,}5 \leq y \leq 2{,}5$$

Ответ:

$$E(y) = [1,5; 2,5]$$

6) $y = \frac{1}{2} \sin x \cdot \cos x — 1 = \frac{1}{4} \sin 2x — 1$

• Используем формулу двойного угла:

$$\sin x \cdot \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$$

• Значит:

$$\frac{1}{2} \sin x \cdot \cos x = \frac{1}{4} \sin 2x$$

• Известно, что:

$$-1 \leq \sin 2x \leq 1$$

• Умножаем на $\frac{1}{4}$:

$$-\frac{1}{4} \leq \frac{1}{4} \sin 2x \leq \frac{1}{4}$$

• Вычитаем 1:

$$-\frac{1}{4} — 1 \leq \frac{1}{4} \sin 2x — 1 \leq \frac{1}{4} — 1$$ $$-\frac{5}{4} \leq y \leq -\frac{3}{4}$$

• Переводим в десятичный вид:

$$-1{,}25 \leq y \leq -0{,}75$$

Ответ:

$$E(y) = [-1,25; -0,75]$$