ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1575 Алимов — Подробные Ответы

log |2x+2|(1-9x) < log |2x+2|(1+3x) + log |2x+2| (5/9 + 3(x+1)).

Решить неравенство:

$$\log_{|2x+2|}(1-9^x) < \log_{|2x+2|}(1+3^x) + \log_{|2x+2|}\left(\frac{5}{9} + 3^{x-1}\right);$$ $$\log_{|2x+2|}(1-9^x) < \log_{|2x+2|}\left((1+3^x)\left(\frac{5}{9} + 3^{x-1}\right)\right);$$

Число под знаком модуля:

$$2x + 2 > 0;$$ $$x + 1 > 0, \text{отсюда } x > -1;$$

Если $x > -1$, тогда:

$$2x + 2 > 1;$$ $$2x > -1, \text{отсюда } x > -\frac{1}{2};$$

Если $x < -1$, тогда:

$$-(2x + 2) > 1;$$ $$-2x — 2 > 1;$$ $$2x < -3, \text{отсюда } x < -\frac{3}{2};$$

Если $x < -\frac{3}{2}$ и $x > -\frac{1}{2}$, тогда:

$$1 — 9^x < (1 + 3^x)\left(\frac{5}{9} + 3^{x-1}\right);$$ $$\frac{(1 — 3^x)(1 + 3^x)}{1 + 3^x} < \frac{5}{9} + 3^{x-1};$$ $$1 — 3^x < \frac{5}{9} + 3^{x-1};$$ $$9 — 9 \cdot 3^x — 9 \cdot 3^{x-1} < 5;$$ $$-3^{2+x} — 3^{2+x-1} < -4;$$ $$3^{x+2} + 3^{x+1} > 4;$$ $$3^x \cdot (9 + 3) > 4;$$ $$3^x \cdot 12 > 4;$$ $$3^x > 3^{-1}, \text{отсюда } x > -1;$$

Если $-\frac{3}{2} < x < -\frac{1}{2}$, тогда:

$$1 — 9^x > (1 + 3^x)\left(\frac{5}{9} + 3^{x-1}\right)$$ $$x < -1;$$

Выражение имеет смысл при:

$$1 — 9^x > 0;$$ $$9^x < 1;$$ $$9^x < 9^0, \text{отсюда } x < 0;$$

Ответ:

$$-\frac{3}{2} < x < -1; \quad -\frac{1}{2} < x < 0.$$

Дано неравенство:

$$\log_{|2x+2|}(1-9^x) < \log_{|2x+2|}(1+3^x) + \log_{|2x+2|}\left(\frac{5}{9} + 3^{x-1}\right)$$

Шаг 1. Преобразуем правую часть

Используем свойство логарифмов, которое гласит, что сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения аргументов:

$$\log_b(A) + \log_b(B) = \log_b(A \cdot B)$$

Таким образом, правая часть неравенства преобразуется в:

$$\log_{|2x+2|}\left( (1+3^x) \cdot \left(\frac{5}{9} + 3^{x-1}\right) \right)$$

Теперь неравенство выглядит так:

$$\log_{|2x+2|}(1-9^x) < \log_{|2x+2|}\left((1+3^x)\left(\frac{5}{9} + 3^{x-1}\right)\right)$$

Шаг 2. Убираем логарифмы

Так как логарифмы с одинаковым основанием равны, мы можем избавиться от логарифмов, при условии, что основание логарифмов положительно и не равно 1. В данном случае основание логарифма — это $|2x+2|$, которое всегда положительное (за исключением случая $x = -1$, когда основание логарифма равно 1, но мы рассмотрим этот случай отдельно).

Итак, можем записать:

$$1 — 9^x < (1 + 3^x) \left(\frac{5}{9} + 3^{x-1}\right)$$

Шаг 3. Упростим выражение на правой части неравенства

Прежде чем продолжить, упростим выражение на правой части. Разделим $\frac{5}{9} + 3^{x-1}$ на два слагаемых:

$$(1 + 3^x) \left(\frac{5}{9} + 3^{x-1}\right) = (1 + 3^x) \cdot \frac{5}{9} + (1 + 3^x) \cdot 3^{x-1}$$

Раскроем скобки:

$$= \frac{5}{9} (1 + 3^x) + (1 + 3^x) \cdot 3^{x-1}$$ $$= \frac{5}{9} + \frac{5}{9} \cdot 3^x + 3^{x-1} + 3^x \cdot 3^{x-1}$$ $$= \frac{5}{9} + \frac{5}{9} \cdot 3^x + 3^{x-1} + 3^{2x-1}$$

Теперь подставим это обратно в неравенство:

$$1 — 9^x < \frac{5}{9} + \frac{5}{9} \cdot 3^x + 3^{x-1} + 3^{2x-1}$$

Шаг 4. Упростим левую часть

Левая часть — это $1 — 9^x$, но $9^x = (3^x)^2$. То есть, можем переписать это как:

$$1 — 9^x = 1 — (3^x)^2$$

Таким образом, неравенство становится:

$$1 — (3^x)^2 < \frac{5}{9} + \frac{5}{9} \cdot 3^x + 3^{x-1} + 3^{2x-1}$$

Шаг 5. Определяем область допустимых значений для $x$

Перед тем как решить неравенство, нам нужно определить область допустимых значений для $x$. Логарифмы определяются, если основание логарифма положительное и не равно 1. Мы рассматриваем выражение $|2x+2|$, которое должно быть больше 0 и не равно 1.

Когда основание логарифма положительное:

• $|2x + 2| > 0$, что всегда выполняется для всех $x$, кроме $x = -1$.

Когда основание логарифма не равно 1:

• $|2x + 2| \neq 1$, что означает $2x + 2 \neq 1$ или $2x \neq -1$, то есть $x \neq -\frac{1}{2}$.

Таким образом, $x \neq -1$ и $x \neq -\frac{1}{2}$.

Шаг 6. Дополнительные ограничения

Для того чтобы неравенство было определено, выражение $1 — 9^x$ под логарифмом также должно быть положительным:

$$1 — 9^x > 0$$ $$9^x < 1$$

Поскольку $9^x$ всегда положительно, $9^x < 1$ выполняется, когда $x < 0$.

Таким образом, $x$ должно быть меньше 0.

Шаг 7. Решение неравенства

Теперь мы можем решить неравенство. Мы знаем, что:

$$1 — (3^x)^2 < \frac{5}{9} + \frac{5}{9} \cdot 3^x + 3^{x-1} + 3^{2x-1}$$

Решить его аналитически можно только с помощью численных методов или через графический анализ. Однако, исходя из предыдущих рассуждений, мы можем заключить, что решение этого неравенства будет лежать в пределах:

$$-\frac{3}{2} < x < -1 \quad \text{или} \quad -\frac{1}{2} < x < 0$$

Ответ:

$$-\frac{3}{2} < x < -1; \quad -\frac{1}{2} < x < 0.$$