ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1088 Алимов — Подробные Ответы

Имеются 5 тюльпанов и 6 нарциссов. Сколькими способами можно составить букет: 1) из 3 тюльпанов и 2 нарциссов; 2) из 2 тюльпанов и 3 нарциссов?

Способы из 5 тюльпанов и 6 нарциссов составить букет:

1) Из трех тюльпанов и двух нарциссов:

Вариантов выбрать три тюльпана:

$$C_5^3 = \frac{5!}{(5-3)! \cdot 3!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2 \cdot 3!} = 5 \cdot 2 = 10;$$

Вариантов выбрать два нарцисса:

$$C_6^2 = \frac{6!}{(6-2)! \cdot 2!} = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 2} = 3 \cdot 5 = 15;$$

Всего вариантов:

$$A = C_5^3 \cdot C_6^2 = 10 \cdot 15 = 150;$$

Ответ: 150 способов.

2) Из двух тюльпанов и трех нарциссов:

Вариантов выбрать два тюльпана:

$$C_5^2 = \frac{5!}{(5-2)! \cdot 2!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2} = 5 \cdot 2 = 10;$$

Вариантов выбрать три нарцисса:

$$C_6^3 = \frac{6!}{(6-3)! \cdot 3!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 3 \cdot 2} = 2 \cdot 5 \cdot 2 = 20;$$

Всего вариантов:

$$A = C_5^2 \cdot C_6^3 = 10 \cdot 20 = 200;$$

Ответ: 200 способов.

Для решения этой задачи мы будем использовать формулу сочетаний, так как нам нужно выбрать определенное количество объектов (тюльпанов и нарциссов) из общего числа, и порядок выбора не имеет значения.

Формула для сочетаний:

$$C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n — k)!}$$

где:

• $n$ — общее количество объектов (в данном случае это количество тюльпанов или нарциссов),
• $k$ — количество объектов, которые нужно выбрать (например, 3 тюльпана и 2 нарцисса),
• $n!$ — факториал числа $n$, равный произведению всех чисел от 1 до $n$,
• $k!$ — факториал числа $k$,
• $(n — k)!$ — факториал разности $n$ и $k$.

Теперь давайте по шагам решим обе части задачи.

Задача 1: Из 3 тюльпанов и 2 нарциссов

Шаг 1: Выбор

Для выбора 3 тюльпанов из 5 используем формулу для сочетаний:

$$C_5^3 = \frac{5!}{3! \cdot (5 — 3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!}$$

Теперь раскроем факториалы:

$$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$$ $$3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$$ $$2! = 2 \cdot 1 = 2$$

Теперь подставим эти значения в формулу:

$$C_5^3 = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$$

Ответ для выбора тюльпанов: 10 способов.

Шаг 2: Выбор

Теперь нужно выбрать 2 нарцисса из 6. Используем ту же формулу для сочетаний:

$$C_6^2 = \frac{6!}{2! \cdot (6 — 2)!} = \frac{6!}{2! \cdot 4!}$$

Раскроем факториалы:

$$6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$$ $$2! = 2 \cdot 1 = 2$$ $$4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$$

Теперь подставим эти значения:

$$C_6^2 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$$

Ответ для выбора нарциссов: 15 способов.

Шаг 3: Общее количество способов

Для получения общего количества способов, нужно перемножить количество способов выбрать тюльпаны и нарциссы:

$$A = C_5^3 \cdot C_6^2 = 10 \cdot 15 = 150$$

Ответ для задачи 1: 150 способов.

Задача 2: Из 2 тюльпанов и 3 нарциссов

Шаг 1: Выбор

Теперь нужно выбрать 2 тюльпана из 5. С помощью формулы для сочетаний:

$$C_5^2 = \frac{5!}{2! \cdot (5 — 2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!}$$

Раскроем факториалы:

$$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$$ $$2! = 2 \cdot 1 = 2$$ $$3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$$

Теперь подставим эти значения:

$$C_5^2 = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$$

Ответ для выбора тюльпанов: 10 способов.

Шаг 2: Выбор

Теперь нужно выбрать 3 нарцисса из 6. Применим ту же формулу для сочетаний:

$$C_6^3 = \frac{6!}{3! \cdot (6 — 3)!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!}$$

Раскроем факториалы:

$$6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$$ $$3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$$

Теперь подставим эти значения:

$$C_6^3 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{6} = 20$$

Ответ для выбора нарциссов: 20 способов.

Шаг 3: Общее количество способов

Для получения общего количества способов, нужно перемножить количество способов выбрать тюльпаны и нарциссы:

$$A = C_5^2 \cdot C_6^3 = 10 \cdot 20 = 200$$

Ответ для задачи 2: 200 способов.