ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1341 Алимов — Подробные Ответы

Найти наибольший рациональный корень уравнения |-x2 -8x + 5| = 2х.

Найти наибольший рациональный корень уравнения:

$$|x^2 — 8x + 5| = 2x;$$

Число под знаком модуля:

$$x^2 — 8x + 5 \geq 0;$$ $$D = 8^2 — 4 \cdot 5 = 64 — 20 = 44, \text{ тогда:}$$ $$x_1 = \frac{8 — \sqrt{44}}{2} \approx \frac{8 — 6,6}{2} \approx \frac{1,4}{2} \approx 0,7;$$ $$x_2 = \frac{8 + \sqrt{44}}{2} \approx \frac{8 + 6,6}{2} \approx \frac{14,6}{2} \approx 7,3;$$ $$(x — 0,7)(x — 7,3) \geq 0;$$ $$x \leq -0,7 \text{ и } x \geq 7,3;$$

Если $x \leq -0,7$ и $x \geq 7,3$, тогда:

$$x^2 — 8x + 5 = 2x;$$ $$x^2 — 10x + 5 = 0;$$ $$D = 10^2 — 4 \cdot 5 = 100 — 20 = 80, \text{ тогда:}$$ $$x = \frac{10 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{10 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 5 \pm 2\sqrt{5};$$

Если $-0,7 < x < 7,3$, тогда:

$$-(x^2 — 8x + 5) = 2x;$$ $$-x^2 + 8x — 5 — 2x = 0;$$ $$x^2 — 6x + 5 = 0;$$ $$D = 6^2 — 5 \cdot 4 = 36 — 20 = 16, \text{ тогда:}$$ $$x_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1 \text{ и } x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5;$$

Ответ: $x = 5$.

Уравнение: $|x^2 — 8x + 5| = 2x$

Шаг 1: Разбор на два случая

Модуль $|x^2 — 8x + 5|$ подразумевает, что выражение под модулем может быть как положительным, так и отрицательным. Рассмотрим два случая:

1. $x^2 — 8x + 5 \geq 0$, то есть $|x^2 — 8x + 5| = x^2 — 8x + 5$,
2. $x^2 — 8x + 5 < 0$, то есть $|x^2 — 8x + 5| = -(x^2 — 8x + 5) = -x^2 + 8x — 5$.

Для того чтобы решить это уравнение, сначала найдем, при каких значениях $x$ выполняется $x^2 — 8x + 5 \geq 0$.

Шаг 2: Решение неравенства $x^2 — 8x + 5 \geq 0$

Для начала решим квадратное неравенство:

$$x^2 — 8x + 5 \geq 0.$$

Решаем соответствующее квадратное уравнение:

$$x^2 — 8x + 5 = 0.$$

Вычислим дискриминант для этого уравнения:

$$D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 64 — 20 = 44.$$

Теперь находим корни уравнения по формуле:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{44}}{2}.$$

Упростим корень:

$$\sqrt{44} = \sqrt{4 \cdot 11} = 2\sqrt{11},$$

поэтому:

$$x = \frac{8 \pm 2\sqrt{11}}{2} = 4 \pm \sqrt{11}.$$

Таким образом, корни уравнения:

$$x_1 = 4 — \sqrt{11} \quad \text{и} \quad x_2 = 4 + \sqrt{11}.$$

Теперь, для решения неравенства $x^2 — 8x + 5 \geq 0$, определим знаки на интервалах, образованных корнями $x_1$ и $x_2$. Для этого используем метод интервалов:

• $x^2 — 8x + 5 \geq 0$ на интервалах $(-\infty, 4 — \sqrt{11}) \cup (4 + \sqrt{11}, +\infty)$,
• $x^2 — 8x + 5 < 0$ на интервале $(4 — \sqrt{11}, 4 + \sqrt{11})$.

Таким образом, $x^2 — 8x + 5 \geq 0$ для $x \leq 4 — \sqrt{11}$ или $x \geq 4 + \sqrt{11}$.

Шаг 3: Рассмотрение случаев

Теперь рассмотрим два случая в уравнении $|x^2 — 8x + 5| = 2x$.

Случай 1: $x^2 — 8x + 5 = 2x$

Этот случай соответствует значениям $x \leq 4 — \sqrt{11}$ или $x \geq 4 + \sqrt{11}$, когда $x^2 — 8x + 5 \geq 0$. Подставляем это в уравнение:

$$x^2 — 8x + 5 = 2x.$$

Переносим все элементы на одну сторону:

$$x^2 — 8x + 5 — 2x = 0,$$ $$x^2 — 10x + 5 = 0.$$

Вычисляем дискриминант для этого уравнения:

$$D = (-10)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 100 — 20 = 80.$$

Теперь находим корни:

$$x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{10 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 5 \pm 2\sqrt{5}.$$

Корни уравнения:

$$x_1 = 5 — 2\sqrt{5}, \quad x_2 = 5 + 2\sqrt{5}.$$

Мы ищем наибольший рациональный корень. Поскольку корни содержат $\sqrt{5}$, они иррациональны, и в этом случае рациональных корней нет.

Случай 2: $-(x^2 — 8x + 5) = 2x$

Этот случай соответствует значениям $4 — \sqrt{11} < x < 4 + \sqrt{11}$, когда $x^2 — 8x + 5 < 0$. Подставляем это в уравнение:

$$-(x^2 — 8x + 5) = 2x,$$ $$-x^2 + 8x — 5 = 2x,$$ $$-x^2 + 8x — 5 — 2x = 0,$$ $$x^2 — 6x + 5 = 0.$$

Вычисляем дискриминант:

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16.$$

Теперь находим корни:

$$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 4}{2}.$$

Корни:

$$x_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5.$$

Шаг 4: Наибольший рациональный корень

Из всех найденных корней $x = 1$ и $x = 5$ являются рациональными. Таким образом, наибольший рациональный корень:

$$x = 5.$$

Ответ:

Наибольший рациональный корень уравнения $|x^2 — 8x + 5| = 2x$ равен $\boxed{5}$.