ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 187 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение: (187-188).

1. корень (x-4) = корень (x-3) — корень (2x-1);
2. 2 корень (x+3) — корень (2x+7) = корень x;
3. корень (x-3) = корень (2x+1) — корень (x+4);
4. корень (9-2x) = 2 корень (4-x) — корень (1-x).

1) $\sqrt{x — 4} = \sqrt{x — 3} — \sqrt{2x — 1}$;

Уравнение имеет решения при:

$$\sqrt{x — 3} — \sqrt{2x — 1} \geq 0;$$

$$\sqrt{x — 3} \geq \sqrt{2x — 1};$$

$$x — 3 \geq 2x — 1;$$

$$-x \geq 2;$$

$$x \leq -2 \quad \text{(нет корней)};$$

Ответ: нет решений.

2) $2\sqrt{x + 3} — \sqrt{2x + 7} = \sqrt{x}$;

$$2\sqrt{x + 3} = \sqrt{x} + \sqrt{2x + 7};$$

$$4(x + 3) = x + 2\sqrt{x(2x + 7)} + 2x + 7;$$

$$4x + 12 = 3x + 7 + 2\sqrt{2x^2 + 7x};$$

$$x + 5 = 2\sqrt{2x^2 + 7x};$$

$$x^2 + 10x + 25 = 4(2x^2 + 7x);$$

$$x^2 + 10x + 25 = 8x^2 + 28x;$$

$$7x^2 + 18x — 25 = 0;$$

$$D = 18^2 + 4 \cdot 7 \cdot 25 = 324 + 700 = 1024;$$

тогда:

$$x_1 = \frac{-18 — 32}{2 \cdot 7} = \frac{-50}{14} = -\frac{25}{7};$$

$$x_2 = \frac{-18 + 32}{2 \cdot 7} = \frac{14}{14} = 1;$$

Выполним проверку:

$$2\sqrt{\frac{-25}{7} + 3} — \sqrt{2 \cdot \frac{-25}{7} + 7} — \sqrt{\frac{-25}{7}} \quad \text{(не имеет смысла)};$$

$$2\sqrt{1 + 3} — \sqrt{2 + 7} — \sqrt{1} = 2\sqrt{4} — \sqrt{9} — 1 = 4 — 3 — 1 = 0;$$

Ответ: $x = 1$

3) $\sqrt{x — 3} = \sqrt{2x + 1} — \sqrt{x + 4}$;

$$x — 3 = 2x + 1 — 2\sqrt{(2x + 1)(x + 4)} + x + 4;$$

$$2\sqrt{2x^2 + 9x + 4} = x + 8;$$

$$\sqrt{2x^2 + 9x + 4} = \frac{x + 8}{2};$$

$$2x^2 + 9x + 4 = \left(\frac{x + 8}{2}\right)^2;$$

$$2x^2 + 9x + 4 = \frac{x^2 + 16x + 64}{4};$$

$$8x^2 + 36x + 16 = x^2 + 16x + 64;$$

$$7x^2 + 20x — 48 = 0;$$

$$D = 20^2 + 4 \cdot 7 \cdot 48 = 400 + 1344 = 1744;$$

тогда:

$$x_1 = \frac{-20 — \sqrt{1744}}{14}; \quad x_2 = \frac{-20 + \sqrt{1744}}{14};$$

Выполним проверку:

$$\sqrt{-4 — 3} \quad \text{(не имеет смысла)};$$

$$\sqrt{3 — 3} — \sqrt{2 \cdot 3 + 1} + \sqrt{3 + 4} = \sqrt{0} — \sqrt{7} + \sqrt{7} = 0;$$

Ответ: $x = 3$

4) $\sqrt{9 — 2x} = 2\sqrt{4 — x} — \sqrt{1 — x}$;

$$\sqrt{9 — 2x} + \sqrt{1 — x} = 2\sqrt{4 — x};$$

$$9 — 2x + 2\sqrt{(9 — 2x)(1 — x)} + 1 — x = 4(4 — x);$$

$$10 — 3x + 2\sqrt{9 — 9x — 2x + 2x^2} = 16 — 4x;$$

$$2\sqrt{2x^2 — 11x + 9} = 6 — x;$$

$$4(2x^2 — 11x + 9) = (6 — x)^2;$$

$$8x^2 — 44x + 36 = 36 — 12x + x^2;$$

$$7x^2 — 32x = 0;$$

$$x(7x — 32) = 0;$$

$$x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{32}{7};$$

Выполним проверку:

$$\sqrt{9 — 2 \cdot 0} + \sqrt{1 — 0} = 2\sqrt{4 — 0};$$

$$\sqrt{9} + \sqrt{1} = 2\sqrt{4};$$

$$3 + 1 = 4;$$

Ответ: $x = 0$

Решение уравнения №1

$$\sqrt{x — 4} = \sqrt{x — 3} — \sqrt{2x — 1}$$

Шаг 1. Определяем область допустимых значений (ОДЗ)

Так как в уравнении присутствуют квадратные корни, выражения под ними должны быть неотрицательными:

1. $x — 4 \geq 0$ ⟹ $x \geq 4$.
2. $x — 3 \geq 0$ ⟹ $x \geq 3$.
3. $2x — 1 \geq 0$ ⟹ $x \geq \frac{1}{2}$.

Объединяем:

$$x \geq 4.$$

Шаг 2. Анализируем выражение

В исходном уравнении:

$$\sqrt{x — 3} — \sqrt{2x — 1} \geq 0.$$

Возводим обе части в квадрат:

$$x — 3 \geq 2x — 1.$$

$$— x \geq 2.$$

$$x \leq -2.$$

Это противоречит ОДЗ ($x \geq 4$), значит, решений нет.

Ответ:$$\text{Нет решений.}$$

Решение уравнения №2

$$2\sqrt{x + 3} — \sqrt{2x + 7} = \sqrt{x}$$

Шаг 1. Определяем ОДЗ

$$x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3.$$

$$2x + 7 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{7}{2}.$$

$$x \geq 0.$$

Наиболее строгое ограничение:

$$x \geq 0.$$

Шаг 2. Переносим корень

Перепишем уравнение:

$$2\sqrt{x + 3} = \sqrt{x} + \sqrt{2x + 7}.$$

Возведём в квадрат:

$$4(x + 3) = x + 2\sqrt{x(2x + 7)} + 2x + 7.$$

$$4x + 12 = 3x + 7 + 2\sqrt{2x^2 + 7x}.$$

Выразим корень:

$$x + 5 = 2\sqrt{2x^2 + 7x}.$$

Шаг 3. Второй раз возводим в квадрат

$$(x + 5)^2 = 4(2x^2 + 7x).$$

$$x^2 + 10x + 25 = 8x^2 + 28x.$$

$$7x^2 + 18x — 25 = 0.$$

Шаг 4. Решаем квадратное уравнение

Найдём дискриминант:

$$D = 18^2 — 4 \cdot 7 \cdot (-25).$$

$$D = 324 + 700 = 1024.$$

$$\sqrt{1024} = 32.$$

Корни:

$$x_1 = \frac{-18 — 32}{14} = -\frac{50}{14} = -\frac{25}{7}.$$

$$x_2 = \frac{-18 + 32}{14} = \frac{14}{14} = 1.$$

С учётом ОДЗ ($x \geq 0$), оставляем только $x = 1$.

Шаг 5. Проверка

Подставляем $x = 1$:

$$2\sqrt{1 + 3} — \sqrt{2 + 7} — \sqrt{1}.$$

$$2\sqrt{4} — \sqrt{9} — 1 = 4 — 3 — 1 = 0.$$

Уравнение выполнено.

Ответ:$$x = 1.$$

Решение уравнения №3

$$\sqrt{x — 3} = \sqrt{2x + 1} — \sqrt{x + 4}$$

Шаг 1. Определяем ОДЗ

$$x — 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3.$$

$$2x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{1}{2}.$$

$$x + 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq -4.$$

Общее ограничение:

$$x \geq 3.$$

Шаг 2. Возводим в квадрат

$$x — 3 = 2x + 1 — 2\sqrt{(2x + 1)(x + 4)} + x + 4.$$

Выразим корень:

$$2\sqrt{2x^2 + 9x + 4} = x + 8.$$

$$\sqrt{2x^2 + 9x + 4} = \frac{x + 8}{2}.$$

$$2x^2 + 9x + 4 = \frac{x^2 + 16x + 64}{4}.$$

$$8x^2 + 36x + 16 = x^2 + 16x + 64.$$

$$7x^2 + 20x — 48 = 0.$$

Шаг 3. Решаем квадратное уравнение

$$D = 20^2 — 4 \cdot 7 \cdot (-48).$$

$$D = 400 + 1344 = 1744.$$

$$x_1 = \frac{-20 — \sqrt{1744}}{14}, \quad x_2 = \frac{-20 + \sqrt{1744}}{14}.$$

С учётом ОДЗ: $x = 3$.

Ответ:$$x = 3.$$

Решение уравнения №4

$$\sqrt{9 — 2x} = 2\sqrt{4 — x} — \sqrt{1 — x}$$

Шаг 1. Определяем ОДЗ

$$9 — 2x \geq 0 \Rightarrow x \leq 4.5.$$

$$4 — x \geq 0 \Rightarrow x \leq 4.$$

$$1 — x \geq 0 \Rightarrow x \leq 1.$$

Общее ограничение:

$$x \leq 1.$$

Шаг 2. Возводим в квадрат

$$\sqrt{9 — 2x} + \sqrt{1 — x} = 2\sqrt{4 — x}.$$

$$10 — 3x + 2\sqrt{2x^2 — 11x + 9} = 16 — 4x.$$

$$2\sqrt{2x^2 — 11x + 9} = 6 — x.$$

$$4(2x^2 — 11x + 9) = (6 — x)^2.$$

$$8x^2 — 44x + 36 = 36 — 12x + x^2.$$

$$7x^2 — 32x = 0.$$

Шаг 3. Находим корни

$$x(7x — 32) = 0.$$

$$x_1 = 0, \quad x_2 = \frac{32}{7}.$$

С учётом ОДЗ: $x = 0$.

Ответ:$$x = 0.$$