ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1040 Алимов — Подробные Ответы

Найти площадь фигуры, ограниченной:

1. параболой у — х2 — 2х + 2, касательной к ней, проходящей через точку пересечения параболы с осью Оу, и прямой х = 1;
2. гиперболой у = 4/x, касательной к ней, проходящей через точку с абсциссой х = 2, и прямыми у = 0, х = 6.

1) $y = x^2 — 2x + 2$, $x = 1$, касательная в точке $x = 0$;

Уравнение касательной:

$$y'(x) = (x^2)’ — (2x — 2)’ = 2x — 2;$$ $$y'(0) = 2 \cdot 0 — 2 = -2;$$ $$y(0) = 0^2 — 2 \cdot 0 + 2 = 2;$$ $$y = 2 — 2(x — 0) = 2 — 2x;$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{0}^{1} \left( (x^2 — 2x + 2) — (2 — 2x) \right) dx = \int_{0}^{1} x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \bigg|_{0}^{1};$$ $$S = \frac{1^3}{3} — \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3};$$

Ответ: $\frac{1}{3}$.

2) $y = \frac{4}{x}$, $x = 0$, $x = 6$, касательная в точке $x = 2$;

Уравнение касательной:

$$y'(x) = 4 \cdot \left( \frac{1}{x} \right)’ = -\frac{4}{x^2};$$ $$y'(2) = -\frac{4}{2^2} = -\frac{4}{4} = -1;$$ $$y(2) = \frac{4}{2} = 2;$$ $$y = 2 — 1 \cdot (x — 2) = 2 — x + 2 = 4 — x;$$

Первая функция:

$$\frac{4}{x} > 0, \text{ отсюда } x > 0;$$

Вторая функция:

$$4 — x > 0, \text{ отсюда } x < 4;$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{2}^{6} \frac{4}{x} \, dx — \int_{2}^{4} (4 — x) \, dx = \left( 4 \cdot \ln x \right) \bigg|_{2}^{6} — \left( 4x — \frac{x^2}{2} \right) \bigg|_{2}^{4} =$$ $$= 4 \cdot \ln 6 — 4 \cdot \ln 2 — \left( 4 \cdot 4 — \frac{4^2}{2} \right) + \left( 4 \cdot 2 — \frac{2^2}{2} \right) = 4 \cdot \ln 3 — 16 + 8 + 8 — 2 =$$ $$= 4 \ln 3 — 2;$$

Ответ: $4 \ln 3 — 2$.

Задача 1

Дано:

• $y = x^2 — 2x + 2$
• точка касания: $x = 0$
• правая граница области: $x = 1$

Шаг 1: Найдём производную функции

$$y = x^2 — 2x + 2 \Rightarrow y'(x) = (x^2)’ — (2x)’ + (2)’ = 2x — 2$$

Шаг 2: Подставим $x = 0$, чтобы найти угловой коэффициент касательной

$$y'(0) = 2 \cdot 0 — 2 = -2$$

Это значит, касательная имеет наклон $k = -2$

Шаг 3: Найдём значение функции в точке касания $x = 0$

$$y(0) = 0^2 — 2 \cdot 0 + 2 = 2$$

Шаг 4: Уравнение касательной

Формула уравнения прямой:

$$y = y_0 + k(x — x_0)$$

Подставим:

• $x_0 = 0$, $y_0 = 2$, $k = -2$

$$y = 2 — 2(x — 0) = 2 — 2x$$

Шаг 5: Площадь криволинейной трапеции

Искомая площадь — между графиком функции $y = x^2 — 2x + 2$ и касательной $y = 2 — 2x$ на отрезке $x \in [0, 1]$

$$S = \int_0^1 \left( f(x) — g(x) \right) dx = \int_0^1 \left( (x^2 — 2x + 2) — (2 — 2x) \right) dx$$

Упростим подынтегральное выражение:

$$x^2 — 2x + 2 — 2 + 2x = x^2$$ $$S = \int_0^1 x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3} — 0 = \frac{1}{3}$$

Ответ: $\boxed{\frac{1}{3}}$

Задача 2

Дано:

• $y = \frac{4}{x}$
• касательная в точке $x = 2$
• рассматриваемая область: от $x = 2$ до $x = 6$

Шаг 1: Найдём производную функции

$$y = \frac{4}{x} = 4x^{-1} \Rightarrow y'(x) = -4x^{-2} = -\frac{4}{x^2}$$

Шаг 2: Подставим $x = 2$, найдём производную в точке касания

$$y'(2) = -\frac{4}{2^2} = -\frac{4}{4} = -1$$

Шаг 3: Найдём значение функции в точке $x = 2$

$$y(2) = \frac{4}{2} = 2$$

Шаг 4: Составим уравнение касательной

Формула касательной:

$$y = y_0 + k(x — x_0)$$

Где:

• $x_0 = 2$
• $y_0 = 2$
• $k = -1$

$$y = 2 — 1(x — 2) = 2 — x + 2 = 4 — x$$

Шаг 5: Условия положительности

Площадь считается только там, где обе функции положительны:

• $\frac{4}{x} > 0 \Rightarrow x > 0$
• $4 — x > 0 \Rightarrow x < 4$

Значит, пересекаются при $x = 4$, и от $x = 2$ до $x = 4$ прямая выше графика.

Шаг 6: Составим выражение для площади

• На $[2, 4]$: между графиками $\frac{4}{x}$ (снизу) и $4 — x$ (сверху)
• На $[4, 6]$: между графиком $\frac{4}{x}$ и осью Ox

$$S = \underbrace{\int_2^4 \left( \frac{4}{x} — (4 — x) \right) dx}_{\text{Между графиками}} + \underbrace{\int_4^6 \frac{4}{x} \, dx}_{\text{Под графиком}}$$

Объединим:

$$S = \int_2^6 \frac{4}{x} dx — \int_2^4 (4 — x) dx$$

Шаг 7: Вычислим интегралы

Первый интеграл:

$$\int_2^6 \frac{4}{x} dx = 4 \ln x \big|_2^6 = 4 \ln 6 — 4 \ln 2 = 4 \ln \left( \frac{6}{2} \right) = 4 \ln 3$$

Второй интеграл:

$$\int_2^4 (4 — x) dx = \int_2^4 4 dx — \int_2^4 x dx = 4x \big|_2^4 — \frac{x^2}{2} \big|_2^4$$

Вычислим:

• $4x \big|_2^4 = 4 \cdot 4 — 4 \cdot 2 = 16 — 8 = 8$
• $\frac{x^2}{2} \big|_2^4 = \frac{16}{2} — \frac{4}{2} = 8 — 2 = 6$

Значит:

$$\int_2^4 (4 — x) dx = 8 — 6 = 2$$

Шаг 8: Подставим в формулу

$$S = 4 \ln 3 — 2$$

Ответ: $\boxed{4 \ln 3 — 2}$