ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 474 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение:

1. 2 sin х + sin2 х + cos2 x = 1;
2. 2 sin2 x + 3 cos2 x — 2 = 0;
3. 3 cos2 x — 2 sin x = 3 — 3 sin2 x;
4. cos2 x — sin2 x = 2 sinx — 1 — 2 sin2 x.

$2 \sin x + \sin^2 x + \cos^2 x = 1$;
$2 \sin x + 1 = 1$;
$2 \sin x = 0$;
$\sin x = 0$;

Искомые точки на окружности:
$(1; 0)$ и $(-1; 0)$;

Значит $x$ принимает значения:
$x_1 = 0 + 2\pi k$ и $x_2 = \pi + 2\pi k$;

Ответ: $x = \pi k$.

$2 \sin^2 x + 3 \cos^2 x — 2 = 0$;
$2 \sin^2 x + 3 \cos^2 x — 2(\sin^2 x + \cos^2 x) = 0$;
$2 \sin^2 x + 3 \cos^2 x — 2 \sin^2 x — 2 \cos^2 x = 0$;
$\cos^2 x = 0$;
$\cos x = 0$;

Искомые точки на окружности:
$(0; 1)$ и $(0; -1)$;

Значит $x$ принимает значения:
$x_1 = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ и $x_2 = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$;

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.

$3 \cos^2 x — 2 \sin x = 3 — 3 \sin^2 x$;
$3 \cos^2 x — 2 \sin x = 3(1 — \sin^2 x)$;
$3 \cos^2 x — 2 \sin x = 3 \cos^2 x$;
$-2 \sin x = 0$;
$\sin x = 0$;

Искомые точки на окружности:
$(1; 0)$ и $(-1; 0)$;

Значит $x$ принимает значения:
$x_1 = 0 + 2\pi k$ и $x_2 = \pi + 2\pi k$;

Ответ: $x = \pi k$.

$\cos^2 x — \sin^2 x = 2 \sin x — 1 — 2 \sin^2 x$;
$\cos^2 x + \sin^2 x = 2 \sin x — 1$;
$1 = 2 \sin x — 1$;
$2 = 2 \sin x$;
$\sin x = 1$;

Искомая точка на окружности:
$(0; 1)$;

Значит $x$ принимает значение:
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$;

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

1)

Уравнение:

$$2 \sin x + \sin^2 x + \cos^2 x = 1$$

Шаг 1: Используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$

Подставим это в уравнение:

$$2 \sin x + (\sin^2 x + \cos^2 x) = 1 \\ 2 \sin x + 1 = 1$$

Шаг 2: Вычтем 1 из обеих частей:

$$2 \sin x = 0$$

Шаг 3: Разделим обе части на 2:

$$\sin x = 0$$

Шаг 4: Найдём все значения $x$, при которых $\sin x = 0$:

$$\sin x = 0 \iff x = \pi k,\quad k \in \mathbb{Z}$$

Этому соответствуют точки на единичной окружности:

• $(1; 0)$ при $x = 0$
• $(-1; 0)$ при $x = \pi$

Ответ:

$$\boxed{x = \pi k}$$

2)

Уравнение:

$$2 \sin^2 x + 3 \cos^2 x — 2 = 0$$

Шаг 1: Заменим 2 на $2(\sin^2 x + \cos^2 x)$, чтобы использовать тождество:

$$2 \sin^2 x + 3 \cos^2 x — 2(\sin^2 x + \cos^2 x) = 0$$

Шаг 2: Раскроем скобки:

$$2 \sin^2 x + 3 \cos^2 x — 2 \sin^2 x — 2 \cos^2 x = 0$$

Шаг 3: Упростим:

$$(2 \sin^2 x — 2 \sin^2 x) + (3 \cos^2 x — 2 \cos^2 x) = 0 \\ 0 + \cos^2 x = 0$$ $$\cos^2 x = 0$$

Шаг 4: Извлекаем корень:

$$\cos x = 0$$

Шаг 5: Найдём все значения $x$, при которых $\cos x = 0$:

$$\cos x = 0 \iff x = \frac{\pi}{2} + \pi k,\quad k \in \mathbb{Z}$$

Это точки:

• $(0; 1)$ при $x = \frac{\pi}{2}$
• $(0; -1)$ при $x = \frac{3\pi}{2} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi$

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi}{2} + \pi k}$$

3)

Уравнение:

$$3 \cos^2 x — 2 \sin x = 3 — 3 \sin^2 x$$

Шаг 1: Раскроем правую часть, используя тождество $\cos^2 x = 1 — \sin^2 x$:

$$3 \cos^2 x — 2 \sin x = 3(1 — \sin^2 x)$$

Шаг 2: Упростим правую часть:

$$3 \cos^2 x — 2 \sin x = 3 — 3 \sin^2 x$$

Шаг 3: Перенесём правую часть в левую:

$$3 \cos^2 x — 2 \sin x — (3 — 3 \sin^2 x) = 0$$

Раскроем скобки:

$$3 \cos^2 x — 2 \sin x — 3 + 3 \sin^2 x = 0$$

Шаг 4: Используем $\cos^2 x = 1 — \sin^2 x$, чтобы выразить всё через $\sin x$:

$$3(1 — \sin^2 x) — 2 \sin x — 3 + 3 \sin^2 x = 0$$ $$3 — 3 \sin^2 x — 2 \sin x — 3 + 3 \sin^2 x = 0$$

Шаг 5: Упростим:

$$(-2 \sin x) = 0$$ $$\sin x = 0$$

Шаг 6: Найдём все значения $x$, при которых $\sin x = 0$:

$$x = \pi k,\quad k \in \mathbb{Z}$$

Точки на окружности:

• $(1; 0)$ и $(-1; 0)$

Ответ:

$$\boxed{x = \pi k}$$

4)

Уравнение:

$$\cos^2 x — \sin^2 x = 2 \sin x — 1 — 2 \sin^2 x$$

Шаг 1: Перенесём все слагаемые в одну сторону:

$$\cos^2 x — \sin^2 x — (2 \sin x — 1 — 2 \sin^2 x) = 0$$ $$\cos^2 x — \sin^2 x — 2 \sin x + 1 + 2 \sin^2 x = 0$$

Шаг 2: Приведём подобные:

$$\cos^2 x + (-\sin^2 x + 2 \sin^2 x) — 2 \sin x + 1 = 0$$ $$\cos^2 x + \sin^2 x — 2 \sin x + 1 = 0$$

Шаг 3: Используем тождество $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$:

$$1 — 2 \sin x + 1 = 0$$ $$2 — 2 \sin x = 0$$

Шаг 4: Решаем уравнение:

$$2 \sin x = 2 \Rightarrow \sin x = 1$$

Шаг 5: Найдём все значения $x$, при которых $\sin x = 1$:

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}$$

Этой точке соответствует:

• $(0; 1)$

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k}$$