ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1612 Алимов — Подробные Ответы

Решить неравенство (1612—1615).

1. (2/5)x2-5x+6 < 1;
2. 5x-3(x+1) > 2(5(x-1)-3(x-2)).

1)

$$\left( \frac{2}{5} \right)^{x^2 — 5x + 6} < 1;$$ $$\left( \frac{2}{5} \right)^{x^2 — 5x + 6} < \left( \frac{2}{5} \right)^0;$$ $$x^2 — 5x + 6 > 0;$$ $$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3;$$ $$(x — 2)(x — 3) > 0;$$ $$x < 2 \quad \text{и} \quad x > 3;$$

Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty)$.

2)

$$5^x — 3^{x+1} > 2(5^{x-1} — 3^{x-2});$$ $$5^x — 3 \cdot 3^x > 2 \cdot \left( \frac{5^x}{5} — \frac{3^x}{3^2} \right);$$ $$5^x — 3 \cdot 3^x — \frac{2}{5} \cdot 5^x + \frac{2}{9} \cdot 3^x > 0;$$ $$\frac{3}{5} \cdot 5^x — \frac{25}{9} \cdot 3^x > 0 \quad | \cdot 45;$$ $$27 \cdot 5^x — 125 \cdot 3^x > 0;$$ $$3^3 \cdot 5^x — 5^3 \cdot 3^x > 0;$$ $$3^3 \cdot 5^x > 5^3 \cdot 3^x;$$ $$\left( \frac{3}{5} \right)^3 > \left( \frac{3}{5} \right)^x;$$ $$3 < x;$$

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

Задача 1:

Неравенство:

$$\left( \frac{2}{5} \right)^{x^2 — 5x + 6} < 1$$

Шаг 1: Преобразуем неравенство.

Необходимо решить неравенство, в котором основание степени меньше единицы. Для этого воспользуемся тем, что если $0 < a < 1$, то:

$$a^y < 1 \quad \text{тогда, когда} \quad y > 0.$$

Здесь основание $\frac{2}{5}$ меньше 1, поэтому для выполнения неравенства должно выполняться:

$$x^2 — 5x + 6 > 0.$$

Таким образом, преобразуем неравенство:

$$\left( \frac{2}{5} \right)^{x^2 — 5x + 6} < 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 5x + 6 > 0.$$

Шаг 2: Решим неравенство $x^2 — 5x + 6 > 0$.

Для решения неравенства $x^2 — 5x + 6 > 0$ найдем его корни, решив квадратное уравнение:

$$x^2 — 5x + 6 = 0.$$

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}.$$

Подставляем коэффициенты $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$:

$$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 — 24}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2}.$$

Таким образом, корни уравнения:

$$x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3.$$

Шаг 3: Исследуем знак квадратичной функции $x^2 — 5x + 6$.

Функция $x^2 — 5x + 6$ является параболой, открывающейся вверх (так как коэффициент при $x^2$ положительный). Мы знаем, что она меняет знак в точках $x = 2$ и $x = 3$. Чтобы узнать, на каких промежутках она положительна, исследуем знак на интервалах, разделенных этими корнями:

1. $x < 2$: Подставим значение $x = 1$ в выражение $x^2 — 5x + 6$:

   $$1^2 — 5 \cdot 1 + 6 = 1 — 5 + 6 = 2 \quad (\text{положительное значение}).$$

2. $2 < x < 3$: Подставим значение $x = 2.5$:

   $$(2.5)^2 — 5 \cdot 2.5 + 6 = 6.25 — 12.5 + 6 = -0.25 \quad (\text{отрицательное значение}).$$

3. $x > 3$: Подставим значение $x = 4$:

   $$4^2 — 5 \cdot 4 + 6 = 16 — 20 + 6 = 2 \quad (\text{положительное значение}).$$

Таким образом, функция $x^2 — 5x + 6$ положительна на промежутках:

$$x < 2 \quad \text{и} \quad x > 3.$$

Шаг 4: Запишем окончательный ответ.

Ответ для неравенства:

$$x \in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty).$$

Задача 2:

Неравенство:

$$5^x — 3^{x+1} > 2(5^{x-1} — 3^{x-2})$$

Шаг 1: Раскроем скобки.

Начнем с раскрытия всех скобок в правой части и преобразования выражений:

$$5^x — 3^{x+1} > 2 \left( 5^{x-1} — 3^{x-2} \right).$$

Первое преобразование:

$$5^x — 3^{x+1} > 2 \cdot 5^{x-1} — 2 \cdot 3^{x-2}.$$

Теперь можем переписать как:

$$5^x — 3 \cdot 3^x > 2 \cdot \frac{5^x}{5} — 2 \cdot \frac{3^x}{9}.$$

Шаг 2: Приведем все выражения к одному виду.

Перепишем выражения, чтобы в правой части не было дробей:

$$5^x — 3 \cdot 3^x — \frac{2}{5} \cdot 5^x + \frac{2}{9} \cdot 3^x > 0.$$

Теперь все выражения с одинаковыми основаниями можно привести к общему виду:

$$\frac{3}{5} \cdot 5^x — \frac{25}{9} \cdot 3^x > 0.$$

Шаг 3: Умножим на 45, чтобы избавиться от дробей.

Умножим обе части неравенства на 45, чтобы избавиться от знаменателей:

$$45 \left( \frac{3}{5} \cdot 5^x — \frac{25}{9} \cdot 3^x \right) > 45 \cdot 0,$$

что дает:

$$27 \cdot 5^x — 125 \cdot 3^x > 0.$$

Шаг 4: Перепишем неравенство.

Теперь перепишем это неравенство как:

$$3^3 \cdot 5^x — 5^3 \cdot 3^x > 0.$$

Шаг 5: Разделим на $3^3 \cdot 5^3$.

Преобразуем неравенство:

$$\frac{3^3 \cdot 5^x}{3^3 \cdot 5^3} > \frac{5^3 \cdot 3^x}{3^3 \cdot 5^3}.$$

Упростим обе части:

$$\left( \frac{3}{5} \right)^3 > \left( \frac{3}{5} \right)^x.$$

Шаг 6: Решение неравенства.

Так как $\frac{3}{5}$ — это число меньше 1, то неравенство выполнится при:

$$3 < x.$$

Шаг 7: Запишем окончательный ответ.

Ответ для неравенства:

$$x \in (3; +\infty).$$

Итоговые ответы:

1. $x \in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty)$.
2. $x \in (3; +\infty)$.