ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 455 Алимов — Подробные Ответы

В какой четверти находится точка, соответствующая числу а, если:

1. sin а + cos а = -1,4;
2. sin а — cos а = 1,4?

В какой четверти находится точка, соответствующая числу $a$, если:

$\sin a + \cos a = -1.4$;

Функции $\sin a$ и $\cos a$ могут принимать значения не меньше (-1), значит в данном случае $\sin a < 0$ и $\cos a < 0$, то есть соответствующая точка находится в III четверти;

Ответ: в третьей.

$\sin a — \cos a = 1.4$;

Функции $\sin a$ и $\cos a$ могут принимать значения не больше 1, значит в данном случае $\sin a > 0$ и $(-\cos a) > 0$, иначе $\sin a > 0$ и $\cos a < 0$, то есть соответствующая точка находится во II четверти;

Ответ: во второй.

Задача: Определить, в какой четверти находится точка на тригонометрической окружности, соответствующая числу $a$, если известна сумма или разность $\sin a$ и $\cos a$.

Общие сведения:

• Синус и косинус угла $a$ — координаты точки на единичной окружности:

  $$(\cos a, \sin a)$$

• Значения синуса и косинуса лежат в интервале $[-1, 1]$.
• Четверти и знаки функций:

1) Дано:

$$\sin a + \cos a = -1.4$$

Шаг 1. Проверка максимальных и минимальных значений суммы

• Максимум и минимум суммы $\sin a + \cos a$ достигаются, когда $\sin a$ и $\cos a$ равны и имеют одинаковый знак, т.к. сумма максимально по модулю.
• Максимальное значение:

  $$\max(\sin a + \cos a) = \sqrt{2} \approx 1.414$$

• Минимальное значение:

  $$\min(\sin a + \cos a) = -\sqrt{2} \approx -1.414$$

• Значение $-1.4$ близко к минимальному.

Шаг 2. Определение знаков $\sin a$ и $\cos a$

• Чтобы сумма была отрицательной и большой по модулю (близко к $-1.4$), оба слагаемых должны быть отрицательными (иначе сумма не достигнет такого значения).
• Значит:

  $$\sin a < 0, \quad \cos a < 0$$

Шаг 3. Определение четверти

• Из таблицы знаков:

  $$\sin a < 0, \quad \cos a < 0 \implies \text{III четверть}$$

Итог по первому пункту:

Точка находится в III четверти.

2) Дано:

$$\sin a — \cos a = 1.4$$

Шаг 1. Рассмотрим выражение $\sin a — \cos a$

• Максимальное и минимальное значения выражения можно найти, заметив, что:

$$\sin a — \cos a = \sqrt{2} \sin\left(a — \frac{\pi}{4}\right)$$

• Максимум $\approx +1.414$, минимум $\approx -1.414$.
• Значение $1.4$ близко к максимальному.

Шаг 2. Определение знаков

• Для выражения $\sin a — \cos a = 1.4 > 0$, необходимо:

$$\sin a > \cos a$$

• При этом, поскольку максимальное значение близко к $\sqrt{2}$, знаки $\sin a$ и $-\cos a$ должны быть положительными:

$$\sin a > 0, \quad -\cos a > 0 \implies \cos a < 0$$

Шаг 3. Определение четверти

• Из таблицы знаков:

$$\sin a > 0, \quad \cos a < 0 \implies \text{II четверть}$$

Итог по второму пункту:

Точка находится во II четверти.