ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1041 Алимов — Подробные Ответы

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

1. у = х3 — Зх2 — 9х + 1, х = 0, y = 6 (при х < 0);
2. у = х4 — 2х2 + 5, y = 1, х = 0, х=1.

1) $y = x^3 — 3x^2 — 9x + 1$, $x = 0$, $y = 6$ (при $x < 0$)

Точки пересечения функций:

$$x^3 — 3x^2 — 9x + 1 = 6$$ $$x^3 — 3x^2 — 9x — 5 = 0$$ $$x = -1$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{-1}^{0} \left( 6 — (x^3 — 3x^2 — 9x + 1) \right) dx = \int_{-1}^{0} \left( 5 — x^3 + 3x^2 + 9x \right) dx$$ $$= \left[ 5 \cdot \frac{x^1}{1} — \frac{x^4}{4} + 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 9 \cdot \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0}$$ $$= \left[ 5x — \frac{x^4}{4} + x^3 + \frac{9x^2}{2} \right]_{-1}^{0}$$ $$= \left( 5 \cdot 0 — \frac{0^4}{4} + 0^3 + \frac{9 \cdot 0^2}{2} \right) — \left( 5 \cdot (-1) — \frac{(-1)^4}{4} + (-1)^3 + \frac{9 \cdot (-1)^2}{2} \right)$$ $$= 0 — \left( -5 — \frac{1}{4} — 1 + \frac{9}{2} \right)$$ $$= 0 — \left( -5 — 0.25 — 1 + 4.5 \right)$$ $$= 0 — \left( -1.75 \right)$$ $$= 1.75$$ $$= 1 \frac{3}{4}$$

Ответ:

$$\boxed{1 \frac{3}{4}}$$

2) 

$y = x^4 — 2x^2 + 5$, $y = 1$, $x = 0$, $x = 1$

Точки пересечения функций:

$$x^4 — 2x^2 + 5 = 1$$ $$x^4 — 2x^2 + 4 = 0$$ $$D = 2^2 — 4 \cdot 4 = 4 — 16 = -12$$ $$D < 0, \text{значит корней нет;}$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{0}^{1} \left( x^4 — 2x^2 + 5 — 1 \right) dx = \int_{0}^{1} \left( x^4 — 2x^2 + 4 \right) dx$$ $$= \left[ \frac{x^5}{5} — 2 \cdot \frac{x^3}{3} + 4x \right]_{0}^{1}$$ $$= \left[ \frac{1^5}{5} — 2 \cdot \frac{1^3}{3} + 4 \cdot 1 \right] — \left[ \frac{0^5}{5} — 2 \cdot \frac{0^3}{3} + 4 \cdot 0 \right]$$ $$= \left( \frac{1}{5} — \frac{2}{3} + 4 \right) — 0$$ $$= \frac{1}{5} — \frac{2}{3} + 4$$ $$= \frac{3}{15} — \frac{10}{15} + \frac{60}{15}$$ $$= \frac{53}{15}$$ $$= 3 \frac{8}{15}$$

Ответ:

$$\boxed{3 \frac{8}{15}}$$

1) $y = x^3 — 3x^2 — 9x + 1$, $x = 0$, $y = 6$ (при $x < 0$)

1.1. Точки пересечения функций

Заданы две функции: $y = x^3 — 3x^2 — 9x + 1$ и $y = 6$. Нам нужно найти точки их пересечения. Для этого приравняем эти функции:

$$x^3 — 3x^2 — 9x + 1 = 6$$

Вынесем все на одну сторону уравнения:

$$x^3 — 3x^2 — 9x + 1 — 6 = 0$$ $$x^3 — 3x^2 — 9x — 5 = 0$$

Теперь решим это уравнение. Мы будем искать корни уравнения методом подбора. Подставим значения $x$:

При $x = -1$:

$$(-1)^3 — 3(-1)^2 — 9(-1) — 5 = -1 — 3 + 9 — 5 = 0$$

Таким образом, $x = -1$ является корнем уравнения.

1.2. Площадь криволинейной трапеции

Площадь криволинейной трапеции можно найти с помощью определённого интеграла. Для этого нужно вычислить площадь между графиком функции $y = x^3 — 3x^2 — 9x + 1$ и прямой $y = 6$ на интервале от $x = -1$ до $x = 0$.

Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле:

$$S = \int_{-1}^{0} \left( 6 — (x^3 — 3x^2 — 9x + 1) \right) dx$$

Упростим выражение под интегралом:

$$S = \int_{-1}^{0} \left( 6 — x^3 + 3x^2 + 9x — 1 \right) dx$$ $$S = \int_{-1}^{0} \left( 5 — x^3 + 3x^2 + 9x \right) dx$$

Теперь вычислим этот интеграл. Для этого разобьём его на несколько частей:

$$S = \int_{-1}^{0} 5 dx — \int_{-1}^{0} x^3 dx + \int_{-1}^{0} 3x^2 dx + \int_{-1}^{0} 9x dx$$

Вычислим первый интеграл:

$$\int_{-1}^{0} 5 dx = 5x \Big|_{-1}^{0} = 5(0) — 5(-1) = 5$$

Вычислим второй интеграл:

$$\int_{-1}^{0} x^3 dx = \frac{x^4}{4} \Big|_{-1}^{0} = \frac{0^4}{4} — \frac{(-1)^4}{4} = 0 — \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}$$

Вычислим третий интеграл:

$$\int_{-1}^{0} 3x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} \Big|_{-1}^{0} = x^3 \Big|_{-1}^{0} = 0^3 — (-1)^3 = 0 — (-1) = 1$$

Вычислим четвёртый интеграл:

$$\int_{-1}^{0} 9x dx = 9 \cdot \frac{x^2}{2} \Big|_{-1}^{0} = \frac{9x^2}{2} \Big|_{-1}^{0} = \frac{9 \cdot 0^2}{2} — \frac{9 \cdot (-1)^2}{2} = 0 — \frac{9}{2} = -\frac{9}{2}$$

Теперь сложим все результаты:

$$S = 5 — \left( -\frac{1}{4} \right) + 1 — \frac{9}{2}$$ $$S = 5 + \frac{1}{4} + 1 — \frac{9}{2}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$S = \frac{20}{4} + \frac{1}{4} + \frac{4}{4} — \frac{18}{4}$$ $$S = \frac{20 + 1 + 4 — 18}{4} = \frac{7}{4}$$

Таким образом, площадь криволинейной трапеции равна:

$$S = 1 \frac{3}{4}$$

Ответ:

$$\boxed{1 \frac{3}{4}}$$

2) $y = x^4 — 2x^2 + 5$, $y = 1$, $x = 0$, $x = 1$

2.1. Точки пересечения функций

Заданы две функции: $y = x^4 — 2x^2 + 5$ и $y = 1$. Нам нужно найти точки их пересечения. Для этого приравняем эти функции:

$$x^4 — 2x^2 + 5 = 1$$

Вынесем все на одну сторону уравнения:

$$x^4 — 2x^2 + 5 — 1 = 0$$ $$x^4 — 2x^2 + 4 = 0$$

Теперь представим это уравнение как квадратное по $x^2$:

$$(x^2)^2 — 2(x^2) + 4 = 0$$

Пусть $z = x^2$. Тогда уравнение превращается в квадратное:

$$z^2 — 2z + 4 = 0$$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 — 16 = -12$$

Поскольку дискриминант $D < 0$, у этого уравнения нет действительных корней. Следовательно, функции не пересекаются.

2.2. Площадь криволинейной трапеции

Так как функции не пересекаются, то мы можем вычислить площадь между графиками $y = x^4 — 2x^2 + 5$ и прямой $y = 1$ на интервале от $x = 0$ до $x = 1$. Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле:

$$S = \int_{0}^{1} \left( (x^4 — 2x^2 + 5) — 1 \right) dx$$

Упростим выражение под интегралом:

$$S = \int_{0}^{1} \left( x^4 — 2x^2 + 4 \right) dx$$

Теперь вычислим этот интеграл:

$$S = \int_{0}^{1} x^4 dx — \int_{0}^{1} 2x^2 dx + \int_{0}^{1} 4 dx$$

Вычислим первый интеграл:

$$\int_{0}^{1} x^4 dx = \frac{x^5}{5} \Big|_{0}^{1} = \frac{1^5}{5} — \frac{0^5}{5} = \frac{1}{5}$$

Вычислим второй интеграл:

$$\int_{0}^{1} 2x^2 dx = 2 \cdot \frac{x^3}{3} \Big|_{0}^{1} = 2 \cdot \left( \frac{1^3}{3} — \frac{0^3}{3} \right) = \frac{2}{3}$$

Вычислим третий интеграл:

$$\int_{0}^{1} 4 dx = 4x \Big|_{0}^{1} = 4(1) — 4(0) = 4$$

Теперь сложим все результаты:

$$S = \frac{1}{5} — \frac{2}{3} + 4$$

Приведём к общему знаменателю:

$$S = \frac{3}{15} — \frac{10}{15} + \frac{60}{15}$$ $$S = \frac{53}{15}$$

Таким образом, площадь криволинейной трапеции равна:

$$S = 3 \frac{8}{15}$$

Ответ:

$$\boxed{3 \frac{8}{15}}$$