ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 330 Алимов — Подробные Ответы

Сравнить значения выражений:

1. 1/2 + lg3 и lg19 — lg2;
2. (lg5 + lg корень 7)/2 и lg^((5+ корень 7)/2);
3. 3(lg7 — lg5) и lg9 — 2/3lg8;
4. lglglg50 и lg^3(50).

Сравнить значения выражений:

1) $\frac{1}{2} + \lg 3$ и $\lg 19 — \lg 2$

Первое выражение:

$$\frac{1}{2} + \lg 3 = \lg 10^{\frac{1}{2}} + \lg 3 = \lg (\sqrt{10} \cdot 3) = \lg (3 \sqrt{10}) = \lg \sqrt{90};$$

$8836 < 9000 < 9025$;
$94 < \sqrt{9000} < 95$;
$9.4 < \sqrt{90} < 9.5$;

Второе выражение:

$$\lg 19 — \lg 2 = \lg \left( \frac{19}{2} \right) = \lg 9.5;$$

Сравним значения выражений:

$$\sqrt{90}<9.5;$$

$$\sqrt{90} < 9.5;$$ $$\lg \sqrt{90}<\lg 9.5;$$$$\lg \sqrt{90} < \lg 9.5;$$

Ответ: $\frac{1}{2} + \lg 3 < \lg 19 — \lg 2$

2) $\frac{\lg 5 + \lg \sqrt{7}}{2}$ и $\lg \frac{5 + \sqrt{7}}{2}$

Первое выражение:

$$\frac{\lg 5 + \lg \sqrt{7}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \lg (5 \sqrt{7}) = \lg \sqrt{5 \sqrt{7}};$$

Предположим, что:

$$\lg \sqrt{5\sqrt{7}}>\lg \frac{5+\sqrt{7}}{2};$$

$$\lg \sqrt{5 \sqrt{7}} > \lg \frac{5 + \sqrt{7}}{2};$$ $$\sqrt{5\sqrt{7}}>\frac{5+\sqrt{7}}{2};$$

$$\sqrt{5 \sqrt{7}} > \frac{5 + \sqrt{7}}{2};$$ $$20\sqrt{7}>32+10\sqrt{7};$$

$$20 \sqrt{7} > 32 + 10 \sqrt{7};$$ $$400\cdot 7>1024+640\sqrt{7}+700;$$

$$400 \cdot 7 > 1024 + 640 \sqrt{7} + 700;$$ $$2800>1724+640\sqrt{7};$$

$$2800 > 1724 + 640 \sqrt{7};$$ $$1076>640\sqrt{7};$$

$$1076 > 640 \sqrt{7};$$ $$269>160\sqrt{7};$$

$$269 > 160 \sqrt{7};$$ $$72361>25600\cdot 7;$$

$$72361 > 25600 \cdot 7;$$ $$72361 > 179200 \quad \text{(не верно)};$$

Ответ: $\frac{\lg 5 + \lg \sqrt{7}}{2} < \lg \frac{5 + \sqrt{7}}{2}$

3) $3 (\lg 7 — \lg 5)$ и $\lg 9 — \frac{2}{3} \lg 8$

Первое выражение:

$$3 (\lg 7 — \lg 5) = 3 \lg \left( \frac{7}{5} \right) = \lg \left( \left( \frac{7}{5} \right)^3 \right) = \lg \left( \frac{343}{125} \right) = \lg \left( \frac{1372}{500} \right);$$

Второе выражение:

$$\lg 9 — \frac{2}{3} \lg 8 = \lg 9 — \lg 8^{2/3} = \lg \left( \frac{9}{8^{2/3}} \right) = \lg \left( \frac{9}{4} \right) = \lg \left( \frac{1125}{500} \right);$$

Сравнение:

$$\frac{1372}{500} > \frac{1125}{500} \Rightarrow \lg \frac{1372}{500} > \lg \frac{1125}{500}$$

Ответ: $3 (\lg 7 — \lg 5) > \lg 9 — \frac{2}{3} \lg 8$

4) $\lg \lg 50$ и $\lg^3 50$

Первое выражение:

$$10<50<100\Rightarrow 1<\lg 50<2$$

$$10 < 50 < 100 \Rightarrow 1 < \lg 50 < 2$$ $$\Rightarrow 0<\lg \lg 50<1$$

$$\Rightarrow 0 < \lg \lg 50 < 1$$ $$\Rightarrow \lg \lg 50 < 0 \quad \text{(так как } \lg 50 \in (1, 2) \Rightarrow \lg \lg 50 \in (0, \lg 2) \approx (0, 0.3))$$

Второе выражение:

$$1 < \lg 50 < 2 \Rightarrow 1^3 < (\lg 50)^3 < 8 \Rightarrow \lg^3 50 \in (1, 8)$$

Ответ: $\lg \lg 50<{\lg }^{3}50$

1) Сравнить:

$$\frac{1}{2} + \lg 3 \quad \text{и} \quad \lg 19 — \lg 2$$

Преобразуем первое выражение:

$$\frac{1}{2} + \lg 3 = \lg 10^{1/2} + \lg 3 = \lg(\sqrt{10} \cdot 3) = \lg(3\sqrt{10}) = \lg \sqrt{90}$$

Преобразуем второе выражение:

$$\lg 19 — \lg 2 = \lg \left( \frac{19}{2} \right) = \lg 9.5$$

Сравним:

$$\sqrt{90} \approx 9.48, \quad \frac{19}{2} = 9.5 \Rightarrow \sqrt{90} < 9.5$$ $$\Rightarrow \lg \sqrt{90} < \lg 9.5$$

Ответ:

$$\frac{1}{2} + \lg 3 < \lg 19 — \lg 2$$

2) Сравнить:

$$\frac{\lg 5 + \lg \sqrt{7}}{2} \quad \text{и} \quad \lg \frac{5 + \sqrt{7}}{2}$$

Преобразуем первое выражение:

$$\frac{\lg 5 + \lg \sqrt{7}}{2} = \frac{1}{2} \cdot (\lg 5 + \lg 7^{1/2}) = \frac{1}{2} \cdot \lg (5 \cdot \sqrt{7}) = \lg \sqrt{5 \sqrt{7}}$$

Оценим второе выражение:

$$\lg \frac{5 + \sqrt{7}}{2}$$

Для численной оценки:

• $\sqrt{7} \approx 2.6458$
• $\Rightarrow \frac{5 + \sqrt{7}}{2} \approx \frac{7.6458}{2} \approx 3.8229$
• $\Rightarrow \lg 3.8229 \approx 0.582$

Оценим первое выражение:

• $\sqrt{5 \sqrt{7}} \approx \sqrt{5 \cdot 2.6458} \approx \sqrt{13.229} \approx 3.637$
• $\Rightarrow \lg 3.637 \approx 0.560$

Сравнение:

$$\lg \sqrt{5 \sqrt{7}} \approx 0.560 < 0.582 \approx \lg \frac{5 + \sqrt{7}}{2}$$

Ответ:

$$\frac{\lg 5 + \lg \sqrt{7}}{2} < \lg \frac{5 + \sqrt{7}}{2}$$

3) Сравнить:

$$3 (\lg 7 — \lg 5) \quad \text{и} \quad \lg 9 — \frac{2}{3} \lg 8$$

Преобразуем первое выражение:

$$3 (\lg 7 — \lg 5) = 3 \lg \left( \frac{7}{5} \right) = \lg \left( \left( \frac{7}{5} \right)^3 \right) = \lg \left( \frac{343}{125} \right)$$

Дополнительно:

$$\frac{343}{125} = \frac{1372}{500}$$

Преобразуем второе выражение:

$$\lg 9 — \frac{2}{3} \lg 8 = \lg 9 — \lg 8^{2/3} = \lg \left( \frac{9}{8^{2/3}} \right)$$

• $8^{2/3} = (2^3)^{2/3} = 2^2 = 4$
• $\Rightarrow \lg \left( \frac{9}{4} \right) = \lg \left( \frac{1125}{500} \right)$

Сравнение:

$$\frac{1372}{500} > \frac{1125}{500} \Rightarrow \lg \left( \frac{1372}{500} \right) > \lg \left( \frac{1125}{500} \right)$$

Ответ:

$$3 (\lg 7 — \lg 5) > \lg 9 — \frac{2}{3} \lg 8$$

4) Сравнить:

$$\lg \lg 50 \quad \text{и} \quad \lg^3 50$$

Оценим $\lg 50$:

• $\lg 10 = 1$, $\lg 100 = 2$,
• $\Rightarrow \lg 50 \in (1, 2)$, примерно $\lg 50 \approx 1.699$

Первое выражение: $\lg \lg 50$

• $\lg 50 \approx 1.699$
• $\Rightarrow \lg \lg 50 \approx \lg 1.699 \approx 0.230$

Второе выражение: $\lg^3 50$

• $\lg^3 50 = (\lg 50)^3 \approx (1.699)^3 \approx 4.905$

Сравнение:

$$0.230 < 4.905 \Rightarrow \lg \lg 50 < \lg^3 50$$

Ответ:

$$\lg \lg 50 < \lg^3 50$$