ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 750 Алимов — Подробные Ответы

Сравнить числа (750—752).

1. arcsin 1/корень 3 и arcsin 2/корень 10;
2. arcsin (-2/3) и arcsin (-3/4).

Функция $y = \arcsin x$:

Возрастает на отрезке $[-1; 1]$;

$\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}} < \arcsin \frac{2}{\sqrt{10}}$;

$$\frac{1}{\sqrt{3}} < \frac{2}{\sqrt{10}};$$ $$\frac{1}{3} < \frac{4}{10};$$ $$\frac{1}{3} < \frac{2}{5};$$ $$\frac{5}{15} < \frac{6}{15};$$

$\arcsin \left( -\frac{2}{3} \right) > \arcsin \left( -\frac{3}{4} \right)$;

$$-\frac{2}{3} > -\frac{3}{4};$$ $$\frac{2}{3} < \frac{3}{4};$$ $$\frac{8}{12} < \frac{9}{12};$$

Функция $y = \arcsin x$ — обратная функция к синусу на промежутке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, где синус строго возрастает. Следовательно, функция $\arcsin x$ строго возрастает на своём определении $x \in [-1, 1]$.

Это означает, что если $a < b$ и $a, b \in [-1, 1]$, то

$$\arcsin a < \arcsin b.$$

Если $a > b$, то

$$\arcsin a > \arcsin b.$$

1) Сравним

$$\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}} \quad \text{и} \quad \arcsin \frac{2}{\sqrt{10}}.$$

Шаг 1: Проверяем знак и принадлежность аргументов области определения

$$\frac{1}{\sqrt{3}} \approx \frac{1}{1.732} \approx 0.577,$$ $$\frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{2}{3.162} \approx 0.632.$$

Оба значения лежат в диапазоне $[-1, 1]$, следовательно, можно сравнивать значения арксинусов напрямую по величине аргументов.

Шаг 2: Сравниваем сами дроби

Сравним $\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\frac{2}{\sqrt{10}}$ без округления, преобразовав в рациональные дроби.

Возведём обе части в квадрат (так как все числа положительны, знак не изменится):

$$\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3}$$ $$\left(\frac{2}{\sqrt{10}}\right)^2 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$

Теперь сравним:

$$\frac{1}{3} \quad \text{и} \quad \frac{2}{5}$$

Приведём к общему знаменателю, например к 15:

$$\frac{1}{3} = \frac{5}{15}, \quad \frac{2}{5} = \frac{6}{15}$$

Поскольку

$$\frac{5}{15} < \frac{6}{15},$$

значит

$$\frac{1}{3} < \frac{2}{5} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} < \frac{2}{\sqrt{10}},$$

а значит

$$\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}} < \arcsin \frac{2}{\sqrt{10}}.$$

2) Сравним

$$\arcsin \left(-\frac{2}{3}\right) \quad \text{и} \quad \arcsin \left(-\frac{3}{4}\right).$$

Шаг 1: Проверяем знак и область определения

$$-\frac{2}{3} \approx -0.666, \quad -\frac{3}{4} = -0.75,$$

оба числа принадлежат интервалу $[-1, 1]$.

Шаг 2: Используем возрастание $\arcsin x$ на $[-1, 1]$

Функция строго возрастает, значит большему аргументу соответствует большее значение функции.

Здесь $-\frac{2}{3} > -\frac{3}{4}$, потому что

$$-0.666 > -0.75,$$

следовательно,

$$\arcsin \left(-\frac{2}{3}\right) > \arcsin \left(-\frac{3}{4}\right).$$

Шаг 3: Для наглядности сравним модули аргументов

$$\frac{2}{3} \approx 0.666, \quad \frac{3}{4} = 0.75,$$

где

$$0.666 < 0.75,$$

что подтверждает предыдущий вывод: меньшее отрицательное число (по модулю больше) имеет меньший арксинус.

Итог:

$$\arcsin \left(-\frac{2}{3}\right) > \arcsin \left(-\frac{3}{4}\right).$$