ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 391 Алимов — Подробные Ответы

1. log3(x) + log9(x) + log27(x)=11/12;
2. log3(x) + log корень 3(x) + log1/3(х) = 6;
3. log3(x) * log2(x) = 4log3(2);
4. log5(x) * log3(x) = 9 log5(3).

1.$${\log }_{3}x+{\log }_{9}x+{\log }_{27}x=\frac{11}{12};$$

$$\log_3 x + \log_9 x + \log_{27} x = \frac{11}{12};$$ $${\log }_{3}x+{\log }_{3^2}x+{\log }_{3^3}x=\frac{11}{12};$$

$$\log_3 x + \log_{3^2} x + \log_{3^3} x = \frac{11}{12};$$ $${\log }_{3}x+\frac{1}{2}{\log }_{3}x+\frac{1}{3}{\log }_{3}x=\frac{11}{12};$$

$$\log_3 x + \frac{1}{2}\log_3 x + \frac{1}{3}\log_3 x = \frac{11}{12};$$ $${\log }_{3}x\cdot (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3})=\frac{11}{12};$$

$$\log_3 x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) = \frac{11}{12};$$ $${\log }_{3}x\cdot (\frac{6}{6}+\frac{3}{6}+\frac{2}{6})=\frac{11}{12};$$

$$\log_3 x \cdot \left(\frac{6}{6} + \frac{3}{6} + \frac{2}{6}\right) = \frac{11}{12};$$ $${\log }_{3}x\cdot \frac{11}{6}=\frac{11}{12};$$

$$\log_3 x \cdot \frac{11}{6} = \frac{11}{12};$$ $${\log }_{3}x=\frac{1}{2};$$

$$\log_3 x = \frac{1}{2};$$ $${\log }_{3}x={\log }_3{3}^{\frac{1}{2}};$$

$$\log_3 x = \log_3 3^{\frac{1}{2}};$$ $$x = 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3};$$

Ответ: $x = \sqrt{3}$.

2.$${\log }_{3}x+{\log }_{\sqrt{3}}x+{\log }_{\frac{1}{3}}x=6;$$

$$\log_3 x + \log_{\sqrt{3}} x + \log_{\frac{1}{3}} x = 6;$$ $${\log }_{3}x+{\log }_{3^{\frac{1}{2}}}x+{\log }_{3^{-1}}x=6;$$

$$\log_3 x + \log_{3^{\frac{1}{2}}} x + \log_{3^{-1}} x = 6;$$ $${\log }_{3}x+2{\log }_{3}x-{\log }_{3}x=6;$$

$$\log_3 x + 2\log_3 x — \log_3 x = 6;$$ $$2{\log }_{3}x=6;$$

$$2\log_3 x = 6;$$ $${\log }_{3}x=3;$$

$$\log_3 x = 3;$$ $${\log }_{3}x={\log }_3{3}^3;$$

$$\log_3 x = \log_3 3^3;$$ $$x = 3^3 = 27;$$

Ответ: $x = 27$.

3.$${\log }_{3}x\cdot {\log }_{2}x=4{\log }_{3}2;$$

$$\log_3 x \cdot \log_2 x = 4\log_3 2;$$ $${\log }_{3}x\cdot \frac{{\log }_{3}x}{{\log }_{3}2}=4{\log }_{3}2;$$

$$\log_3 x \cdot \frac{\log_3 x}{\log_3 2} = 4\log_3 2;$$ $$({\log }_{3}x{)}^2=4({\log }_{3}2{)}^2;$$

$$(\log_3 x)^2 = 4(\log_3 2)^2;$$ $$(\log_3 x)^2 = (2\log_3 2)^2;$$

Первое уравнение:

$${\log }_{3}x=2{\log }_{3}2;$$

$$\log_3 x = 2\log_3 2;$$ $${\log }_{3}x={\log }_3{2}^2;$$

$$\log_3 x = \log_3 2^2;$$ $$x = 2^2 = 4;$$

Второе уравнение:

$${\log }_{3}x=-2{\log }_{3}2;$$

$$\log_3 x = -2\log_3 2;$$ $${\log }_{3}x={\log }_3{2}^{-2};$$

$$\log_3 x = \log_3 2^{-2};$$ $$x = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4};$$

Ответ: $x_1 = 4$; $x_2 = \frac{1}{4}$.

4.$${\log }_{5}x\cdot {\log }_{3}x=9{\log }_{5}3;$$

$$\log_5 x \cdot \log_3 x = 9\log_5 3;$$ $${\log }_{5}x\cdot \frac{{\log }_{5}x}{{\log }_{5}3}=9{\log }_{5}3;$$

$$\log_5 x \cdot \frac{\log_5 x}{\log_5 3} = 9\log_5 3;$$ $$({\log }_{5}x{)}^2=9({\log }_{5}3{)}^2;$$

$$(\log_5 x)^2 = 9(\log_5 3)^2;$$ $$(\log_5 x)^2 = (3\log_5 3)^2;$$

Первое уравнение:

$${\log }_{5}x=3{\log }_{5}3;$$

$$\log_5 x = 3\log_5 3;$$ $${\log }_{5}x={\log }_5{3}^3;$$

$$\log_5 x = \log_5 3^3;$$ $$x = 3^3 = 27;$$

Второе уравнение:

$${\log }_{5}x=-3{\log }_{5}3;$$

$$\log_5 x = -3\log_5 3;$$ $${\log }_{5}x={\log }_5{3}^{-3};$$

$$\log_5 x = \log_5 3^{-3};$$ $$x = 3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27};$$

Ответ: $x_1 = 27$; $x_2 = \frac{1}{27}$.

1)

$$\log_3 x + \log_9 x + \log_{27} x = \frac{11}{12}$$

Шаг 1: Преобразуем основания к одному (3):

$$\log_9 x = \log_{3^2} x = \frac{1}{2} \log_3 x, \quad \log_{27} x = \log_{3^3} x = \frac{1}{3} \log_3 x$$

Шаг 2: Подставим:

$$\log_3 x + \frac{1}{2} \log_3 x + \frac{1}{3} \log_3 x = \frac{11}{12}$$

Шаг 3: Сложим коэффициенты:

$$\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right)\log_3 x = \frac{11}{12}$$

Шаг 4: Приводим к общему знаменателю:

$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{6}{6} + \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{11}{6}$$ $$\frac{11}{6} \log_3 x = \frac{11}{12}$$

Шаг 5: Найдём $\log_3 x$:

$$\log_3 x = \frac{11}{12} \cdot \frac{6}{11} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$

Шаг 6: Преобразуем обратно:

$$\log_3 x = \log_3 3^{1/2} \Rightarrow x = 3^{1/2} = \sqrt{3}$$

Ответ:

$$\boxed{x = \sqrt{3}}$$

2)

$$\log_3 x + \log_{\sqrt{3}} x + \log_{\frac{1}{3}} x = 6$$

Шаг 1: Представим основания через $3$:

• $\sqrt{3} = 3^{1/2} \Rightarrow \log_{\sqrt{3}} x = \log_{3^{1/2}} x = \frac{1}{\frac{1}{2}} \log_3 x = 2\log_3 x$
• $\frac{1}{3} = 3^{-1} \Rightarrow \log_{1/3} x = \log_{3^{-1}} x = \frac{1}{-1} \log_3 x = -\log_3 x$

Шаг 2: Подставим:

$$\log_3 x + 2\log_3 x — \log_3 x = 6$$

Шаг 3: Упростим:

$$(1 + 2 — 1)\log_3 x = 2\log_3 x = 6 \Rightarrow \log_3 x = 3$$

Шаг 4: Обратное преобразование:

$$\log_3 x = \log_3 3^3 \Rightarrow x = 3^3 = 27$$

Ответ:

$$\boxed{x = 27}$$

3)

$$\log_3 x \cdot \log_2 x = 4\log_3 2$$

Шаг 1: Преобразуем $\log_2 x$ через $\log_3 x$:

$$\log_2 x = \frac{\log_3 x}{\log_3 2} \Rightarrow \log_3 x \cdot \frac{\log_3 x}{\log_3 2} = 4\log_3 2$$

Шаг 2: Упростим:

$$\frac{(\log_3 x)^2}{\log_3 2} = 4\log_3 2$$

Шаг 3: Умножим обе части на $\log_3 2$:

$$(\log_3 x)^2 = 4(\log_3 2)^2$$

Шаг 4: Извлечём корень:

$$\log_3 x = \pm 2\log_3 2$$

Рассмотрим оба случая:

1-й случай:

$$\log_3 x = 2\log_3 2 = \log_3 2^2 = \log_3 4 \Rightarrow x = 4$$

2-й случай:

$$\log_3 x = -2\log_3 2 = \log_3 2^{-2} = \log_3 \frac{1}{4} \Rightarrow x = \frac{1}{4}$$

Ответ:

$$\boxed{x_1 = 4;\quad x_2 = \frac{1}{4}}$$

4)

$$\log_5 x \cdot \log_3 x = 9\log_5 3$$

Шаг 1: Выразим $\log_3 x$ через $\log_5 x$:

$$\log_3 x = \frac{\log_5 x}{\log_5 3} \Rightarrow \log_5 x \cdot \frac{\log_5 x}{\log_5 3} = 9\log_5 3$$

Шаг 2: Упростим:

$$\frac{(\log_5 x)^2}{\log_5 3} = 9\log_5 3$$

Шаг 3: Умножим обе части на $\log_5 3$:

$$(\log_5 x)^2 = 9(\log_5 3)^2$$

Шаг 4: Извлекаем корень:

$$\log_5 x = \pm 3\log_5 3$$

Рассмотрим оба случая:

1-й случай:

$$\log_5 x = 3\log_5 3 = \log_5 3^3 = \log_5 27 \Rightarrow x = 27$$

2-й случай:

$$\log_5 x = -3\log_5 3 = \log_5 3^{-3} = \log_5 \frac{1}{27} \Rightarrow x = \frac{1}{27}$$

Ответ:

$$\boxed{x_1 = 27;\quad x_2 = \frac{1}{27}}$$