ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 654 Алимов — Подробные Ответы

1. sin2 x + 2 sin x > 0;
2. cos2 x — cos x < 0.

$\sin^2 x + 2 \sin x > 0$;

Пусть $y = \sin x$, тогда:
$y^2 + 2y > 0;$
$y(y + 2) > 0;$
$y < -2 \text{ или } y > 0;$

Первое неравенство:
$\sin x < -2 — \text{ решений нет};$
$\sin x \neq -2;$
$x \neq (-1)^{n+1} \cdot \arcsin 2 + \pi n;$

Второе неравенство:
$\sin x > 0;$
$\arcsin 0 + 2\pi n < x < \pi — \arcsin 0 + 2\pi n;$
$2\pi n < x < \pi + 2\pi n;$

Ответ: $2\pi n < x < \pi + 2\pi n$.

$\cos^2 x — \cos x < 0$;

Пусть $y = \cos x$, тогда:
$y^2 — y < 0;$
$y(y — 1) < 0;$
$0 < y < 1;$

Первое неравенство:
$\cos x > 0;$
$-\arccos 0 + 2\pi n < x < \arccos 0 + 2\pi n;$
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$

Второе неравенство:
$\cos x < 1 — \text{ при любом } x;$
$\cos x \neq 0;$
$x \neq \arccos 1 + 2\pi n = 2\pi n;$

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < 2\pi n; \, 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

Задача 1: $\sin^2 x + 2 \sin x > 0$

Шаг 1: Введение подстановки.

Пусть $y = \sin x$. Таким образом, исходное неравенство принимает вид:

$$y^2 + 2y > 0.$$

Шаг 2: Разложим выражение.

Мы можем разложить левую часть неравенства:

$$y^2 + 2y = y(y + 2).$$

Таким образом, неравенство превращается в:

$$y(y + 2) > 0.$$

Шаг 3: Решим неравенство.

Решим неравенство $y(y + 2) > 0$. Для этого найдем нули функции $y(y + 2) = 0$:

$$y = 0 \quad \text{или} \quad y = -2.$$

Это два критических значения, которые делят ось $y$ на три интервала: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$, и $(0, \infty)$.

Теперь проверим знак функции на каждом из этих интервалов.

• Для $y \in (-\infty, -2)$ (например, $y = -3$):

  $$y(y + 2) = (-3)(-3 + 2) = (-3)(-1) = 3 > 0.$$

  Таким образом, на этом интервале знак положительный.

• Для $y \in (-2, 0)$ (например, $y = -1$):

  $$y(y + 2) = (-1)(-1 + 2) = (-1)(1) = -1 < 0.$$

  Таким образом, на этом интервале знак отрицательный.

• Для $y \in (0, \infty)$ (например, $y = 1$):

  $$y(y + 2) = (1)(1 + 2) = (1)(3) = 3 > 0.$$

  Таким образом, на этом интервале знак положительный.

Итак, решение неравенства $y(y + 2) > 0$ будет на интервалах:

$$y < -2 \quad \text{или} \quad y > 0.$$

Шаг 4: Переводим обратно на $x$.

Теперь вернемся к переменной $\sin x$:

• Из неравенства $y < -2$ получаем, что $\sin x < -2$. Однако, это не имеет решений, так как значения функции синуса лежат в интервале от $-1$ до $1$. Таким образом, решений для $\sin x < -2$ нет.
• Из неравенства $y > 0$ получаем, что $\sin x > 0$. Это решение возможно, и мы можем найти интервал для $x$, на котором синус положителен.

Функция синуса положительна на интервале:

$$\arcsin 0 + 2\pi n < x < \pi — \arcsin 0 + 2\pi n.$$

Поскольку $\arcsin 0 = 0$, это выражение сводится к:

$$0 + 2\pi n < x < \pi + 2\pi n,$$

что дает:

$$2\pi n < x < \pi + 2\pi n.$$

Ответ: $2\pi n < x < \pi + 2\pi n$.

Задача 2: $\cos^2 x — \cos x < 0$

Шаг 1: Введение подстановки.

Пусть $y = \cos x$. Тогда исходное неравенство примет вид:

$$y^2 — y < 0.$$

Шаг 2: Разложим выражение.

Мы можем разложить левую часть:

$$y^2 — y = y(y — 1).$$

Таким образом, неравенство превращается в:

$$y(y — 1) < 0.$$

Шаг 3: Решим неравенство.

Решим неравенство $y(y — 1) < 0$. Для этого найдем нули функции $y(y — 1) = 0$:

$$y = 0 \quad \text{или} \quad y = 1.$$

Это два критических значения, которые делят ось $y$ на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$, и $(1, \infty)$.

Теперь проверим знак функции на каждом из этих интервалов.

• Для $y \in (-\infty, 0)$ (например, $y = -1$):

  $$y(y — 1) = (-1)(-1 — 1) = (-1)(-2) = 2 > 0.$$

  Таким образом, на этом интервале знак положительный.

• Для $y \in (0, 1)$ (например, $y = \frac{1}{2}$):

  $$y(y — 1) = \left( \frac{1}{2} \right) \left( \frac{1}{2} — 1 \right) = \left( \frac{1}{2} \right) \left( -\frac{1}{2} \right) = -\frac{1}{4} < 0.$$

  Таким образом, на этом интервале знак отрицательный.

• Для $y \in (1, \infty)$ (например, $y = 2$):

  $$y(y — 1) = (2)(2 — 1) = (2)(1) = 2 > 0.$$

  Таким образом, на этом интервале знак положительный.

Итак, решение неравенства $y(y — 1) < 0$ будет на интервале:

$$0 < y < 1.$$

Шаг 4: Переводим обратно на $x$.

Теперь вернемся к переменной $\cos x$:

• Из неравенства $0 < y < 1$ получаем, что $\cos x$ лежит в интервале $(0, 1)$.

Функция косинуса принимает значения от $0$ до $1$ на интервале:

$$-\arccos 0 + 2\pi n < x < \arccos 0 + 2\pi n.$$

Зная, что $\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$, получаем:

$$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

Так как $\cos x = 1$ при $x = 2\pi n$, это исключает $x = 2\pi n$. Таким образом, окончательное решение:

$$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < 2\pi n \quad \text{или} \quad 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < 2\pi n; \, 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

Итоговые ответы:

1. $2\pi n < x < \pi + 2\pi n$.
2. $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < 2\pi n; \, 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.