ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 840 Алимов — Подробные Ответы

Найти значение производной функции f (х) в точке х0:

1. f (х) = е^(2х-4) + 2ln х, х0 = 2;
2. f (х) = е^(3х-2) — ln (3х — 1), х0 =2/3;
3. f (х) = 2х — log2 х, х0 = 1;
4. f (х) = log 0 5 х — 3x, х0 = 1.

1) $f(x) = e^{2x-4} + 2 \ln x$ и $x_0 = 2$;

$f'(x) = (e^{2x-4})’ + 2 \cdot (\ln x)’ = 2e^{2x-4} + 2 \cdot \frac{1}{x};$

$f'(2) = 2e^{2 \cdot 2 — 4} + 2 \cdot \frac{1}{2} = 2e^0 + 1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3;$

Ответ: 3.

2) $f(x) = e^{3x-2} — \ln(3x-1)$ и $x_0 = \frac{2}{3}$;

$f'(x) = (e^{3x-2})’ — (\ln(3x-1))’ = 3e^{3x-2} — \frac{3}{3x-1};$

$f’\left(\frac{2}{3}\right) = 3e^{3 \cdot \frac{2}{3} — 2} — \frac{3}{3 \cdot \frac{2}{3} — 1} = 3e^0 — \frac{3}{2 — 1} = 3 \cdot 1 — 3 = 0;$

Ответ: 0.

3) $f(x) = 2^x — \log_2 x$ и $x_0 = 1$;

$f'(x) = (2^x)’ — (\log_2 x)’ = 2^x \cdot \ln 2 — \frac{1}{x \ln 2};$

$f'(1) = 2^1 \cdot \ln 2 — \frac{1}{1 \cdot \ln 2} = 2 \ln 2 — \frac{1}{\ln 2} = \frac{2 \ln^2 2 — 1}{\ln 2};$

Ответ: $\frac{2 \ln^2 2 — 1}{\ln 2}$.

4) $f(x) = \log_{0.5} x — 3^x$ и $x_0 = 1$;

$f'(x) = (\log_{0.5} x)’ — (3^x)’ = \frac{1}{x \ln 0.5} — 3^x \cdot \ln 3;$

$f'(1) = \frac{1}{1 \cdot \ln 0.5} — 3^1 \cdot \ln 3 = -\frac{1}{\ln 2} — 3 \ln 3;$

Ответ: $-\frac{1}{\ln 2} — 3 \ln 3$.

1) $f(x) = e^{2x-4} + 2 \ln x$ и $x_0 = 2$

Шаг 1: Находим производную функции $f(x) = e^{2x-4} + 2 \ln x$

Для нахождения производной функции, которая является суммой двух функций, используем правило дифференцирования суммы:

$$(f(x) + g(x))’ = f'(x) + g'(x).$$

В данном случае $f(x) = e^{2x-4}$ и $g(x) = 2 \ln x$. Поэтому:

$$f'(x) = (e^{2x-4})’ + 2 \cdot (\ln x)’.$$

Шаг 2: Дифференцируем $e^{2x-4}$

Для того чтобы дифференцировать выражение $e^{2x-4}$, используем цепное правило. Цепное правило гласит, что если $y = e^{u(x)}$, то производная от $y$ по $x$ равна:

$$\frac{d}{dx} e^{u(x)} = e^{u(x)} \cdot u'(x),$$

где $u(x) = 2x — 4$.

Теперь находим производную функции $u(x) = 2x — 4$:

$$u'(x) = \frac{d}{dx}(2x — 4) = 2.$$

Таким образом, производная от $e^{2x-4}$ будет:

$$(e^{2x-4})’ = e^{2x-4} \cdot 2 = 2 e^{2x-4}.$$

Шаг 3: Дифференцируем $2 \ln x$

Производная от логарифма $\ln x$ по $x$ равна:

$$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}.$$

Следовательно, производная от $2 \ln x$ будет:

$$2 \cdot (\ln x)’ = 2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x}.$$

Шаг 4: Собираем все в одно

Теперь можем записать полную производную функции $f(x)$:

$$f'(x) = 2 e^{2x-4} + \frac{2}{x}.$$

Шаг 5: Находим значение производной в точке $x_0 = 2$

Теперь подставим $x_0 = 2$ в найденную производную:

$$f'(2) = 2 e^{2 \cdot 2 — 4} + \frac{2}{2}.$$

Преобразуем экспоненту:

$$f'(2) = 2 e^{0} + 1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3.$$

Ответ: 3.

2) $f(x) = e^{3x-2} — \ln(3x-1)$ и $x_0 = \frac{2}{3}$

Шаг 1: Находим производную функции $f(x) = e^{3x-2} — \ln(3x-1)$

Используем правило дифференцирования разности функций:

$$(f(x) — g(x))’ = f'(x) — g'(x).$$

В данном случае $f(x) = e^{3x-2}$ и $g(x) = \ln(3x-1)$, поэтому:

$$f'(x) = (e^{3x-2})’ — (\ln(3x-1))’.$$

Шаг 2: Дифференцируем $e^{3x-2}$

Используем цепное правило для дифференцирования экспоненциальной функции. Если $y = e^{u(x)}$, то:

$$\frac{d}{dx} e^{u(x)} = e^{u(x)} \cdot u'(x).$$

В нашем случае $u(x) = 3x — 2$, и его производная:

$$u'(x) = \frac{d}{dx}(3x — 2) = 3.$$

Следовательно, производная от $e^{3x-2}$ будет:

$$(e^{3x-2})’ = 3 e^{3x-2}.$$

Шаг 3: Дифференцируем $\ln(3x-1)$

Для дифференцирования логарифма с составной функцией снова используем цепное правило:

$$\frac{d}{dx} \ln(u(x)) = \frac{1}{u(x)} \cdot u'(x).$$

В нашем случае $u(x) = 3x — 1$, и его производная:

$$u'(x) = \frac{d}{dx}(3x — 1) = 3.$$

Таким образом, производная от $\ln(3x-1)$ будет:

$$(\ln(3x-1))’ = \frac{3}{3x-1}.$$

Шаг 4: Собираем все в одно

Теперь соберем полную производную:

$$f'(x) = 3 e^{3x-2} — \frac{3}{3x-1}.$$

Шаг 5: Находим значение производной в точке $x_0 = \frac{2}{3}$

Теперь подставим $x_0 = \frac{2}{3}$ в найденную производную:

$$f’\left( \frac{2}{3} \right) = 3 e^{3 \cdot \frac{2}{3} — 2} — \frac{3}{3 \cdot \frac{2}{3} — 1}.$$

Упростим выражение:

$$f’\left( \frac{2}{3} \right) = 3 e^0 — \frac{3}{2 — 1} = 3 \cdot 1 — 3 = 0.$$

Ответ: 0.

3) $f(x) = 2^x — \log_2 x$ и $x_0 = 1$

Шаг 1: Находим производную функции $f(x) = 2^x — \log_2 x$

Используем правило дифференцирования разности функций:

$$f'(x) = (2^x)’ — (\log_2 x)’.$$

Шаг 2: Дифференцируем $2^x$

Производная от экспоненциальной функции $2^x$ по $x$ равна:

$$(2^x)’ = 2^x \ln 2.$$

Шаг 3: Дифференцируем $\log_2 x$

Для дифференцирования логарифма с основанием 2 используем формулу:

$$\frac{d}{dx} \log_2 x = \frac{1}{x \ln 2}.$$

Шаг 4: Собираем все в одно

Теперь соберем полную производную:

$$f'(x) = 2^x \ln 2 — \frac{1}{x \ln 2}.$$

Шаг 5: Находим значение производной в точке $x_0 = 1$

Теперь подставим $x_0 = 1$ в найденную производную:

$$f'(1) = 2^1 \ln 2 — \frac{1}{1 \cdot \ln 2} = 2 \ln 2 — \frac{1}{\ln 2}.$$

Приводим к общему знаменателю:

$$f'(1) = \frac{2 \ln^2 2 — 1}{\ln 2}.$$

Ответ: $\frac{2 \ln^2 2 — 1}{\ln 2}$.

4) $f(x) = \log_{0.5} x — 3^x$ и $x_0 = 1$

Шаг 1: Находим производную функции $f(x) = \log_{0.5} x — 3^x$

Используем правило дифференцирования разности функций:

$$f'(x) = (\log_{0.5} x)’ — (3^x)’.$$

Шаг 2: Дифференцируем $\log_{0.5} x$

Для дифференцирования логарифма с основанием $0.5$ используем формулу:

$$\frac{d}{dx} \log_a x = \frac{1}{x \ln a}.$$

В нашем случае $a = 0.5$, и производная будет:

$$(\log_{0.5} x)’ = \frac{1}{x \ln 0.5}.$$

Так как $\ln 0.5 = -\ln 2$, получаем:

$$(\log_{0.5} x)’ = -\frac{1}{x \ln 2}.$$

Шаг 3: Дифференцируем $3^x$

Производная от $3^x$ по $x$ равна:

$$(3^x)’ = 3^x \ln 3.$$

Шаг 4: Собираем все в одно

Теперь соберем полную производную:

$$f'(x) = -\frac{1}{x \ln 2} — 3^x \ln 3.$$

Шаг 5: Находим значение производной в точке $x_0 = 1$

Теперь подставим $x_0 = 1$ в найденную производную:

$$f'(1) = -\frac{1}{1 \ln 2} — 3^1 \ln 3 = -\frac{1}{\ln 2} — 3 \ln 3.$$

Ответ: $-\frac{1}{\ln 2} — 3 \ln 3$.