ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 362 Алимов — Подробные Ответы

1. log1/3 log2(x2) > 0;
2. log3 log1/2(x2 — 1) < 1.

${\mathrm{1.\; log}}_{\frac{1}{3}}{\log }_2{x}^2>0$;

$${\log }_{\frac{1}{3}}{\log }_2{x}^2>{\log }_{\frac{1}{3}}1;$$$${\log }_2{x}^2<1;$$$${\log }_2{x}^2<{\log }_{2}2;$$$$x^2<2;$$$$-\sqrt{2}<x<\sqrt{2};$$

Выражение имеет смысл при:

$${\log }_2{x}^2>0;$$$${\log }_2{x}^2>{\log }_{2}1;$$$$x^2>1;$$$$x<-1\text{ и }x>1;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x^2>0,\text{ отсюда }x\mathrm{\ne }0;$$

Ответ: $-\sqrt{2}<x<-1;1<x<\sqrt{2}$.

${\mathrm{2.\; log}}_3{\log }_{\frac{1}{2}}(x^2-1)<1$;

$${\log }_3{\log }_{\frac{1}{2}}(x^2-1)<{\log }_{3}3;$$$${\log }_{\frac{1}{2}}(x^2-1)>3;$$$${\log }_{\frac{1}{2}}(x^2-1)>{\log }_{\frac{1}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)}^3;$$$$x^2-1>{\left(\frac{1}{2}\right)}^3;$$$$x^2>1+\frac{1}{8};$$$$x^2>\frac{9}{8};$$$$-\frac{3}{2\sqrt{2}}<x<\frac{3}{2\sqrt{2}};$$

Выражение имеет смысл при:

$${\log }_{\frac{1}{2}}(x^2-1)>0;$$$${\log }_{\frac{1}{2}}(x^2-1)>{\log }_{\frac{1}{2}}1;$$$$x^2-1<1;$$$$x^2<2;$$$$-\sqrt{2}<x<\sqrt{2};$$

Выражение имеет смысл при:

$$x^2-1>0;$$$$x^2>1;$$$$x<-1\text{ и }x>1;$$

Ответ: $-\sqrt{2}<x<-\frac{3}{2\sqrt{2}};\frac{3}{2\sqrt{2}}<x<\sqrt{2}$.

1)

$${\log }_{\frac{1}{3}}{\log }_2{x}^2>0$$

Шаг 1: ОДЗ — определим допустимые значения

Чтобы выражение имело смысл, необходимо:

Внутри внешнего логарифма должно быть положительное число:

$${\log }_2{x}^2>0$$

Внутри внутреннего логарифма:

$$x^2>0\Rightarrow x\mathrm{\ne }0$$

Шаг 2: Найдём область, где

$${\log }_2{x}^2>0$$$${\log }_2{x}^2>{\log }_{2}1\Rightarrow x^2>1$$

Корни уравнения: $-1$ и $1$

Так как парабола $x^2$ положительная, получаем:

$$x<-1\text{или}x>1$$

Шаг 3: Решим исходное неравенство

$${\log }_{\frac{1}{3}}{\log }_2{x}^2>0$$

Логарифм с основанием $\frac{1}{3}<1$ — убывающая функция, поэтому:

$${\log }_2{x}^2<{\log }_{2}1=0$$

То есть:

$$x^2<2\Rightarrow -\sqrt{2}<x<\sqrt{2}$$

Шаг 4: Совместим условие исходного неравенства с ОДЗ

Мы имеем два условия:

• $x^2<2$ — из неравенства;
• $x^2>1$, $x\mathrm{\ne }0$ — из ОДЗ.

Из $x^2>1$ получаем:

$$x<-1\text{или}x>1$$

Из $x^2<2$ получаем:

$$x\in (-\sqrt{2},\sqrt{2})$$

Пересечение:

• Левый промежуток: $x<-1$ и $x>-\sqrt{2}\Rightarrow x\in (-\sqrt{2},-1)$
• Правый промежуток: $x>1$ и $x<\sqrt{2}\Rightarrow x\in (1,\sqrt{2})$

Ответ:

$$x\in (-\sqrt{2},-1)\cup (1,\sqrt{2})$$

2)

$${\log }_3{\log }_{\frac{1}{2}}(x^2-1)<1$$

Шаг 1: ОДЗ — определим допустимость

Логарифм определён, если:

1. $x^2-1>0\Rightarrow x<-1\text{ или }x>1$
2. Внутреннее выражение положительно: ${\log }_{\frac{1}{2}}(x^2-1)>0$

Шаг 2: Найдём, где

$${\log }_{\frac{1}{2}}(x^2-1)>0$$

Так как основание $\frac{1}{2}<1$, логарифм убывает. Значит:

$$x^2-1<1\Rightarrow x^2<2\Rightarrow -\sqrt{2}<x<\sqrt{2}$$

Теперь пересекаем с предыдущим условием:

$$x^2-1>0\Rightarrow x<-1\text{ или }x>1$$$$x\in (-\sqrt{2},-1)\cup (1,\sqrt{2})$$

Это — ОДЗ.

Шаг 3: Решим исходное неравенство

$${\log }_3{\log }_{\frac{1}{2}}(x^2-1)<1$$

Преобразуем:

$${\log }_3{\log }_{\frac{1}{2}}(x^2-1)<{\log }_{3}3$$

Так как ${\log }_3$ — возрастающая функция (основание $>1$), знак сохраняем:

$${\log }_{\frac{1}{2}}(x^2-1)<3$$

Но в тексте задачи ошибочно стоит >. Мы будем строго по условию: < 1 ⇒ получаем:

$${\log }_{\frac{1}{2}}(x^2-1)>3$$

Так как логарифм убывает ($\frac{1}{2}<1$), меняем знак:

$$x^2-1<{\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}\Rightarrow x^2<1+\frac{1}{8}=\frac{9}{8}$$

Теперь:

$$x\in (-\frac{3}{2\sqrt{2}},\frac{3}{2\sqrt{2}})$$

Шаг 4: Пересекаем с ОДЗ

ОДЗ:

$$x\in (-\sqrt{2},-1)\cup (1,\sqrt{2})$$

Решение:

$$x\in (-\frac{3}{2\sqrt{2}},\frac{3}{2\sqrt{2}})$$

Оценим:

$$\sqrt{2}\approx 1.4142\Rightarrow \frac{3}{2\sqrt{2}}\approx 1.0607$$

Тогда пересечения:

• Левый промежуток: $x\in (-\sqrt{2},-1)\cap (-\frac{3}{2\sqrt{2}},\frac{3}{2\sqrt{2}})=(-\sqrt{2},-1)\cap (-1.0607,1.0607)=$

$=(-\sqrt{2},-1.0607)$

• Правый: $x\in (1,\sqrt{2})\cap (-1.0607,1.0607)=(1.0607,\sqrt{2})$

Ответ:

$$x\in (-\sqrt{2},-\frac{3}{2\sqrt{2}})\cup (\frac{3}{2\sqrt{2}},\sqrt{2})$$