ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1606 Алимов — Подробные Ответы

Решить систему уравнений (1606 — 1608)

1) система

x-3y=-5,

x/3y — 2y/x=-23/6;

2) система

(x+y)/(x-y) + (x-y)/(x+y) =10/3,

x2+y2=5.

1)

$$\begin{cases} x — 3y = -5 \\ \frac{x}{3y} — \frac{2y}{x} = -\frac{23}{6} \end{cases}$$$=>$

$$\begin{cases} x = 3y — 5 \\ \frac{x}{3y} — \frac{2y}{x} + \frac{23}{6} = 0 \end{cases};$$ $$\frac{3y — 5}{3y} — \frac{2y}{3y — 5} + \frac{23}{6} = 0 \quad | \cdot 18y(3y — 5);$$ $$6(3y — 5)^2 — 18y \cdot 2y + 23 \cdot 3y(3y — 5) = 0;$$ $$6(9y^2 — 30y + 25) — 36y^2 + 69y(3y — 5) = 0;$$ $$54y^2 — 180y + 150 — 36y^2 + 207y^2 — 345y = 0;$$ $$225y^2 — 525y + 150 = 0 \quad | : 75;$$ $$3y^2 — 7y + 2 = 0;$$ $$D = 7^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 — 24 = 25, \text{ тогда: }$$ $$y_1 = \frac{7 — 5}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, \quad y_2 = \frac{7 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2;$$ $$x_1 = 3 \cdot \frac{1}{3} — 5 = 1 — 5 = -4;$$ $$x_2 = 3 \cdot 2 — 5 = 6 — 5 = 1;$$

Ответ: $(-4; \frac{1}{3})$, $(1; 2)$.

2)

$$\begin{cases} \frac{x + y}{x — y} + \frac{x — y}{x + y} = \frac{10}{3} \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases}$$$=>$

$$\begin{cases} \frac{(x + y)^2 + (x — y)^2}{(x — y)(x + y)} = \frac{10}{3} \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases};$$ $$\begin{cases} \frac{x^2 + 2xy + y^2 + x^2 — 2xy + y^2}{x^2 — y^2} = \frac{10}{3} \\ x^2 = 5 — y^2 \end{cases}$$$=>$

$$\begin{cases} \frac{2(x^2 + y^2)}{x^2 — y^2} = \frac{10}{3} \\ x^2 = 5 — y^2 \end{cases};$$ $$\frac{2(5 — y^2 + y^2)}{5 — y^2 — y^2} = \frac{10}{3};$$ $$\frac{10}{5 — 2y^2} = \frac{10}{3};$$ $$5 — 2y^2 = 3;$$ $$2y^2 = 2;$$ $$y^2 = 1, \text{ отсюда } y = \pm 1;$$ $$x = \pm \sqrt{5 — (\pm 1)^2} = \pm \sqrt{5 — 1} = \pm \sqrt{4} = \pm 2;$$

Ответ: $(-2; -1)$, $(-2; 1)$, $(2; -1)$, $(2; 1)$.

Задача 1:

Дано:

$$\begin{cases} x — 3y = -5 \\ \frac{x}{3y} — \frac{2y}{x} = -\frac{23}{6} \end{cases}$$

Шаг 1: Извлекаем выражение для $x$

Первое уравнение $x — 3y = -5$ можно выразить для $x$:

$$x = 3y — 5.$$

Шаг 2: Подставляем выражение для $x$ во второе уравнение

Теперь подставим $x = 3y — 5$ во второе уравнение $\frac{x}{3y} — \frac{2y}{x} = -\frac{23}{6}$:

$$\frac{3y — 5}{3y} — \frac{2y}{3y — 5} = -\frac{23}{6}.$$

Шаг 3: Умножаем на $18y(3y — 5)$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на $18y(3y — 5)$. Это поможет избавиться от знаменателей:

$$18y(3y — 5) \left( \frac{3y — 5}{3y} — \frac{2y}{3y — 5} \right) = 18y(3y — 5) \left( -\frac{23}{6} \right).$$

Теперь упростим каждую из частей:

$$18y(3y — 5) \cdot \frac{3y — 5}{3y} = 6(3y — 5)^2,$$ $$18y(3y — 5) \cdot \frac{2y}{3y — 5} = -36y^2,$$ $$18y(3y — 5) \cdot \left( -\frac{23}{6} \right) = -69y(3y — 5).$$

Таким образом, уравнение становится:

$$6(3y — 5)^2 — 36y^2 + 69y(3y — 5) = 0.$$

Шаг 4: Раскрытие скобок и упрощение

Теперь раскроем все скобки и упростим полученное выражение:

1. Раскроем первую скобку:

   $$6(3y — 5)^2 = 6(9y^2 — 30y + 25) = 54y^2 — 180y + 150.$$

2. Раскроем вторую часть:

   $$-36y^2.$$

3. Раскроем третью часть:

   $$69y(3y — 5) = 207y^2 — 345y.$$

Теперь подставим все эти выражения в уравнение:

$$54y^2 — 180y + 150 — 36y^2 + 207y^2 — 345y = 0.$$

Шаг 5: Сбор подобных членов

Теперь соберем все подобные члены:

1. $54y^2 — 36y^2 + 207y^2 = 225y^2$,
2. $-180y — 345y = -525y$,
3. Константа: $150$.

Таким образом, уравнение сводится к следующему:

$$225y^2 — 525y + 150 = 0.$$

Шаг 6: Делим на 75

Для упрощения делим обе части уравнения на 75:

$$\frac{225y^2}{75} — \frac{525y}{75} + \frac{150}{75} = 0,$$

получаем:

$$3y^2 — 7y + 2 = 0.$$

Шаг 7: Находим дискриминант

Теперь решим квадратное уравнение. Для этого находим дискриминант:

$$D = (-7)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 — 24 = 25.$$

Шаг 8: Находим корни уравнения

Корни квадратного уравнения находим по формуле:

$$y_1 = \frac{-(-7) — \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 — 5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3},$$ $$y_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 5}{6} = \frac{12}{6} = 2.$$

Шаг 9: Находим значения для $x$

Теперь, зная значения для $y$, подставим их в выражение $x = 3y — 5$.

1. Для $y_1 = \frac{1}{3}$:

   $$x_1 = 3 \cdot \frac{1}{3} — 5 = 1 — 5 = -4.$$

2. Для $y_2 = 2$:

   $$x_2 = 3 \cdot 2 — 5 = 6 — 5 = 1.$$

Ответ:

Решения системы: $(-4, \frac{1}{3})$ и $(1, 2)$.

Задача 2:

Дано:

$$\begin{cases} \frac{x + y}{x — y} + \frac{x — y}{x + y} = \frac{10}{3} \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases}$$

Шаг 1: Преобразуем первое уравнение

В первом уравнении $\frac{x + y}{x — y} + \frac{x — y}{x + y} = \frac{10}{3}$ объединяем дроби:

$$\frac{(x + y)^2 + (x — y)^2}{(x — y)(x + y)} = \frac{10}{3}.$$

Теперь раскрываем квадрат:

$$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2, \quad (x — y)^2 = x^2 — 2xy + y^2.$$

Таким образом, получаем:

$$\frac{x^2 + 2xy + y^2 + x^2 — 2xy + y^2}{x^2 — y^2} = \frac{10}{3}.$$

Упрощаем:

$$\frac{2(x^2 + y^2)}{x^2 — y^2} = \frac{10}{3}.$$

Шаг 2: Подставляем $x^2 + y^2 = 5$

Из второго уравнения $x^2 + y^2 = 5$ подставляем в уравнение:

$$\frac{2(5)}{x^2 — y^2} = \frac{10}{3},$$

получаем:

$$\frac{10}{x^2 — y^2} = \frac{10}{3}.$$

Шаг 3: Умножаем на $x^2 — y^2$

Умножаем обе части уравнения на $x^2 — y^2$:

$$10 = \frac{10}{3} (x^2 — y^2).$$

Теперь умножаем обе части на 3:

$$30 = 10(x^2 — y^2),$$

делим на 10:

$$3 = x^2 — y^2.$$

Шаг 4: Система уравнений

Теперь у нас есть система:

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ x^2 — y^2 = 3. \end{cases}$$

Шаг 5: Решение системы уравнений

Сложим эти два уравнения:

$$(x^2 + y^2) + (x^2 — y^2) = 5 + 3,$$

получаем:

$$2x^2 = 8 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2.$$

Теперь из $x^2 + y^2 = 5$ подставим $x^2 = 4$:

$$4 + y^2 = 5 \quad \Rightarrow \quad y^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad y = \pm 1.$$

Ответ:

Решения системы: $(-2, -1)$, $(-2, 1)$, $(2, -1)$, $(2, 1)$.