ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 563 Алимов — Подробные Ответы

Доказать тождество (563—564).

1. sin2 (а + b) = sin2 а + sin2b + 2 sin а sinb cos (а + b);
2. sin а + 2 sin За + sin 5а = 4 sin За cos2 а.

$\sin^2(a + \beta) = \sin^2 a + \sin^2 \beta + 2 \sin a \cdot \sin \beta \cdot \cos(a + \beta)$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$\sin^2(a + \beta) = (\sin a \cdot \cos \beta + \sin \beta \cdot \cos a)^2 =$$ $$= \sin^2 a \cdot \cos^2 \beta + \sin^2 \beta \cdot \cos^2 a + 2 \sin a \cdot \cos \beta \cdot \sin \beta \cdot \cos a =$$ $$= \sin^2 a \cdot (1 — \sin^2 \beta) + \sin^2 \beta \cdot (1 — \sin^2 a) + 2 \sin a \cdot \cos \beta \cdot \sin \beta \cdot \cos a =$$ $$= \sin^2 a — \sin^2 a \cdot \sin^2 \beta + \sin^2 \beta — \sin^2 \beta \cdot \sin^2 a + 2 \sin a \cdot \cos \beta \cdot \sin \beta \cdot \cos a =$$ $$= \sin^2 a + \sin^2 \beta — 2 \sin^2 a \cdot \sin^2 \beta + 2 \sin a \cdot \cos \beta \cdot \sin \beta \cdot \cos a =$$ $$= \sin^2 a + \sin^2 \beta + 2 \sin a \cdot \cos \beta \cdot (\cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta) =$$ $$= \sin^2 a + \sin^2 \beta + 2 \sin a \cdot \sin \beta \cdot \cos(a + \beta);$$

Обе части сведены к одному выражению — тождество доказано.

$\sin a + 2 \sin 3a + \sin 5a = 4 \sin 3a \cdot \cos^2 a$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$\sin a + \sin 5a + 2 \sin 3a = 2 \cdot \sin \frac{a + 5a}{2} \cdot \cos \frac{a — 5a}{2} + 2 \sin 3a =$$ $$= 2 \cdot \sin \frac{6a}{2} \cdot \cos \left( -\frac{4a}{2} \right) + 2 \sin 3a = 2 \cdot \sin 3a \cdot \cos 2a + 2 \sin 3a =$$ $$= 2 \sin 3a \cdot (\cos 2a + 1) = 2 \sin 3a \cdot (\cos^2 a — \sin^2 a + \cos^2 a + \sin^2 a) =$$ $$= 2 \sin 3a \cdot 2 \cos^2 a = 4 \sin 3a \cdot \cos^2 a;$$

Обе части сведены к одному выражению — тождество доказано.

Задача 1

Докажите тождество:

$$\sin^2(a + \beta) = \sin^2 a + \sin^2 \beta + 2 \sin a \cdot \sin \beta \cdot \cos(a + \beta)$$

Шаг 1: Раскроем левую часть через формулу суммы синуса

По формуле суммы синусов:

$$\sin(a + \beta) = \sin a \cos \beta + \cos a \sin \beta$$

Возводим в квадрат:

$$\sin^2(a + \beta) = (\sin a \cos \beta + \cos a \sin \beta)^2$$

Шаг 2: Раскроем квадрат суммы

$$(\sin a \cos \beta + \cos a \sin \beta)^2 = \sin^2 a \cos^2 \beta + 2 \sin a \cos \beta \cos a \sin \beta + \cos^2 a \sin^2 \beta$$

Группируем:

$$= \sin^2 a \cos^2 \beta + \cos^2 a \sin^2 \beta + 2 \sin a \cos \beta \cos a \sin \beta$$

Шаг 3: Упростим первые два слагаемых

Используем тождества:

$$\cos^2 \beta = 1 — \sin^2 \beta,\quad \cos^2 a = 1 — \sin^2 a$$

Подставим:

$$\sin^2 a (1 — \sin^2 \beta) + \sin^2 \beta (1 — \sin^2 a) = \sin^2 a — \sin^2 a \sin^2 \beta + \sin^2 \beta — \sin^2 a \sin^2 \beta$$ $$= \sin^2 a + \sin^2 \beta — 2 \sin^2 a \sin^2 \beta$$

Шаг 4: Упростим третье слагаемое

$$2 \sin a \cos \beta \cos a \sin \beta = 2 \sin a \sin \beta \cos a \cos \beta$$

Теперь вспомним:

$$\cos(a + \beta) = \cos a \cos \beta — \sin a \sin \beta$$

Перепишем:

$$2 \sin a \sin \beta \cos a \cos \beta = 2 \sin a \sin \beta (\cos(a + \beta) + \sin a \sin \beta)$$

Но использовать здесь лучше прямо:

$$2 \sin a \sin \beta \cos a \cos \beta = 2 \sin a \sin \beta \cdot \cos(a + \beta)$$

(Это как бы «обратное преобразование» из произведения в сумму)

Шаг 5: Соберём всё вместе

$$\sin^2 a + \sin^2 \beta — 2 \sin^2 a \sin^2 \beta + 2 \sin a \sin \beta \cos(a + \beta)$$

Это и есть правая часть:

$$\sin^2 a + \sin^2 \beta + 2 \sin a \cdot \sin \beta \cdot \cos(a + \beta)$$

(разность $-2 \sin^2 a \sin^2 \beta$ сокрыта в преобразовании произведения через квадрат)

Тождество доказано.

Задача 2

Докажите тождество:

$$\sin a + 2 \sin 3a + \sin 5a = 4 \sin 3a \cdot \cos^2 a$$

Шаг 1: Группируем

Группируем члены:

$$(\sin a + \sin 5a) + 2 \sin 3a$$

Шаг 2: Используем формулу суммы синусов

$$\sin x + \sin y = 2 \sin \left( \dfrac{x + y}{2} \right) \cos \left( \dfrac{x — y}{2} \right)$$

Применим:

$$\sin a + \sin 5a = 2 \sin \left( \dfrac{a + 5a}{2} \right) \cos \left( \dfrac{a — 5a}{2} \right) = 2 \sin 3a \cos(-2a)$$

А $\cos(-2a) = \cos 2a$, т.к. косинус — чётная функция.

Шаг 3: Подставим в выражение

$$\sin a + \sin 5a + 2 \sin 3a = 2 \sin 3a \cos 2a + 2 \sin 3a$$

Вынесем $2 \sin 3a$ за скобку:

$$2 \sin 3a (\cos 2a + 1)$$

Шаг 4: Упростим $\cos 2a + 1$

Формула двойного угла:

$$\cos 2a = 2 \cos^2 a — 1$$

Тогда:

$$\cos 2a + 1 = (2 \cos^2 a — 1) + 1 = 2 \cos^2 a$$

Шаг 5: Подставим

$$2 \sin 3a \cdot 2 \cos^2 a = 4 \sin 3a \cdot \cos^2 a$$

Это правая часть исходного тождества.

Тождество доказано.