ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 363 Алимов — Подробные Ответы

1. log0,2(x) — log5 (x — 2) < log0,2(3);
2. lg x — log0,1 (x — 1) > log0,1 (0,5).

$\log_{0.2} x — \log_5 (x-2) < \log_{0.2} 3$;

$${\log }_{0.2}x-{\log }_{(1\mathrm{/}5{)}^{-1}}(x-2)<{\log }_{0.2}3;$$

$$\log_{0.2} x — \log_{(1/5)^{-1}} (x-2) < \log_{0.2} 3;$$ $${\log }_{0.2}x+{\log }_{0.2}(x-2)<{\log }_{0.2}3;$$

$$\log_{0.2} x + \log_{0.2} (x-2) < \log_{0.2} 3;$$ $${\log }_{0.2}(x(x-2))<{\log }_{0.2}3;$$

$$\log_{0.2} (x(x-2)) < \log_{0.2} 3;$$ $$x(x-2)>3;$$

$$x(x-2) > 3;$$ $$x^2-2x>3;$$

$$x^2 — 2x > 3;$$ $$x^2 — 2x — 3 > 0;$$

$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16$, тогда:

$$x_1=\frac{2-4}{2}=-2\text{ и }{x}_2=\frac{2+4}{2}=3;$$

$$x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -2 \text{ и } x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;$$ $$(x+2)(x-3)>0;$$

$$(x+2)(x-3) > 0;$$ $$x < -2 \text{ и } x > 3;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x>0;$$

$$x > 0;$$ $$x — 2 > 0, \text{ отсюда } x > 2;$$

Ответ: $x > 3$.

$\lg x — \log_{0.1} (x-1) > \log_{0.1} 0.5$;

$$\lg x-{\log }_{{10}^{-1}}(x-1)>{\log }_{{10}^{-1}}\frac{1}{2};$$

$$\lg x — \log_{10^{-1}} (x-1) > \log_{10^{-1}} \frac{1}{2};$$ $$\lg x+\lg (x-1)>-\lg \left(\frac{1}{2}\right);$$

$$\lg x + \lg (x-1) > -\lg \left( \frac{1}{2} \right);$$ $$\lg (x(x-1))>\lg {\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1};$$

$$\lg (x(x-1)) > \lg \left( \frac{1}{2} \right)^{-1};$$ $$x(x-1)>{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1};$$

$$x(x-1) > \left( \frac{1}{2} \right)^{-1};$$ $$x^2-x>2;$$

$$x^2 — x > 2;$$ $$x^2 — x — 2 > 0;$$

$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$, тогда:

$$x_1=\frac{1-3}{2}=-1\text{ и }{x}_2=\frac{1+3}{2}=2;$$

$$x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \text{ и } x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;$$ $$(x+1)(x-2)>0;$$

$$(x+1)(x-2) > 0;$$ $$x < -1 \text{ и } x > 2;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x>0;$$

$$x > 0;$$ $$x — 1 > 0, \text{ отсюда } x > 1;$$

Ответ: $x > 2$.

1)

$$\log_{0.2} x — \log_5 (x — 2) < \log_{0.2} 3$$

Шаг 1. Преобразуем логарифмы к одному основанию

Заметим:

• $0.2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$
• Значит, $\log_5 a = \frac{\log_{0.2} a}{\log_{0.2} 5}$, но удобнее использовать свойство:

$$\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b} \Rightarrow \log_5 (x — 2) = -\log_{0.2} (x — 2)$$

(так как $\log_{0.2} 5 = -1$)

Заменим:

$$\log_{0.2} x — (-\log_{0.2}(x — 2)) < \log_{0.2} 3 \Rightarrow \log_{0.2} x + \log_{0.2}(x — 2) < \log_{0.2} 3$$

Шаг 2. Объединим логарифмы

$$\log_{0.2}(x(x — 2)) < \log_{0.2} 3 \Rightarrow \log_{0.2}(x^2 — 2x) < \log_{0.2} 3$$

Так как $\log_{0.2}$ — убывающая функция ($0.2 < 1$), то:

$$x^2 — 2x > 3 \Rightarrow x^2 — 2x — 3 > 0$$

Шаг 3. Решим квадратное неравенство

Найдём дискриминант:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \Rightarrow x_1 = \frac{2 — \sqrt{16}}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = 3$$

Значит:

$$x^2 — 2x — 3 > 0 \iff x < -1 \quad \text{или} \quad x > 3$$

Шаг 4. ОДЗ (область допустимых значений)

Логарифмы определены при:

• $x > 0$
• $x — 2 > 0 \Rightarrow x > 2$

Значит:

$$x > 2$$

Шаг 5. Пересечение с ОДЗ

Решение неравенства: $x < -1$ или $x > 3$

ОДЗ: $x > 2$

Пересекаем:

$$x \in (3, +\infty)$$

Ответ:

$$x > 3$$

2)

$$\lg x — \log_{0.1} (x — 1) > \log_{0.1} 0.5$$

Шаг 1. Преобразуем логарифмы

Основание $0.1 = 10^{-1}$, а значит:

$$\log_{0.1} a = \frac{\lg a}{\lg 0.1} = \frac{\lg a}{-1} = -\lg a$$

Также:

$$\log_{0.1} 0.5 = -\lg 0.5$$

Тогда:

$$\lg x — (-\lg(x — 1)) > -\lg 0.5 \Rightarrow \lg x + \lg(x — 1) > -\lg 0.5$$

Шаг 2. Объединяем логарифмы

$$\lg (x(x — 1)) > -\lg 0.5$$

Используем свойство:

$$-\lg 0.5 = \lg(0.5)^{-1} = \lg 2$$

Тогда:

$$\lg(x(x — 1)) > \lg 2 \Rightarrow x(x — 1) > 2$$

Шаг 3. Решим неравенство

$$x^2 — x > 2 \Rightarrow x^2 — x — 2 > 0$$

Решим квадратное неравенство:

$$D = (-1)^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9 \Rightarrow x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$$

Значит:

$$x < -1 \quad \text{или} \quad x > 2$$

Шаг 4. ОДЗ

Логарифмы определены при:

• $x > 0$
• $x — 1 > 0 \Rightarrow x > 1$

Объединяя: $x > 1$

Шаг 5. Пересекаем с ОДЗ

Решение неравенства: $x < -1$ или $x > 2$

ОДЗ: $x > 1$

Пересечение:

$$x \in (2, +\infty)$$

Ответ:

$$x > 2$$