ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 903 Алимов — Подробные Ответы

1. y=x3/(x2+3);
2. y=((x-2)(8-x))/x2;
3. y=(x-1)e3x;
4. y=xe^-3x.

$y = \frac{x^3}{x^2 + 3}$;

$$y'(x) = \frac{(x^3)’ \cdot (x^2 + 3) — x^3 \cdot (x^2 + 3)’}{(x^2 + 3)^2};$$ $$y'(x) = \frac{3x^2 \cdot (x^2 + 3) — x^3 \cdot 2x}{(x^2 + 3)^2} = \frac{3x^4 + 9x^2 — 2x^4}{(x^2 + 3)^2} = \frac{9x^2 + x^4}{(x^2 + 3)^2};$$

Выражение имеет смысл при:

$$x^2 + 3 > 0, \text{ отсюда } x^2 > -3 \text{ при любом } x;$$

Ответ: возрастает на $(-\infty; +\infty)$.

$y = \frac{(x-2)(8-x)}{x^2} = \frac{8x — x^2 — 16 + 2x}{x^2} = \frac{-x^2 — 10x + 16}{x^2};$

$$y'(x) = -\frac{(x^2 — 10x + 16)’ \cdot x^2 — (x^2 — 10x + 16) \cdot (x^2)’}{(x^2)^2};$$ $$y'(x) = -\frac{(2x — 10) \cdot x^2 — (x^2 — 10x + 16) \cdot 2x}{x^4};$$ $$y'(x) = -\frac{2x^3 — 10x^2 — 2x^3 + 20x^2 — 32x}{x^4};$$ $$y'(x) = -\frac{10x^2 — 32x}{x^4};$$

Выражение имеет смысл при:

$$x \neq 0;$$

Промежуток возрастания:

$$-(10x^2 — 32x) > 0;$$ $$10x^2 — 32x < 0;$$ $$x \cdot (10x — 32) < 0;$$ $$0 < x < 3.2;$$

Ответ: возрастает на $(0; 3.2)$ и убывает на $(-\infty; 0) \cup (3.2; +\infty)$.

$y = (x-1) \cdot e^{3x}$;

$$y'(x) = (x-1)’ \cdot e^{3x} + (x-1) \cdot (e^{3x})’;$$ $$y'(x) = 1 \cdot e^{3x} + (x-1) \cdot 3e^{3x};$$ $$y'(x) = e^{3x} \cdot (1 + 3(x-1));$$ $$y'(x) = e^{3x} \cdot (1 + 3x — 3);$$ $$y'(x) = e^{3x} \cdot (3x — 2);$$

Промежуток возрастания:

$$3x — 2 > 0;$$ $$3x > 2, \text{ отсюда } x > \frac{2}{3};$$

Ответ: возрастает на $\left( \frac{2}{3}; +\infty \right)$ и убывает на $\left( -\infty; \frac{2}{3} \right)$.

$y = x \cdot e^{-3x}$;

$$y'(x) = (x)’ \cdot e^{-3x} + x \cdot (e^{-3x})’;$$ $$y'(x) = 1 \cdot e^{-3x} + x \cdot (-3) \cdot e^{-3x};$$ $$y'(x) = e^{-3x} \cdot (1 — 3x);$$

Промежуток возрастания:

$$1 — 3x \geqslant 0;$$ $$3x < 1, \text{ отсюда } x < \frac{1}{3};$$

Ответ: возрастает на $\left( -\infty; \frac{1}{3} \right)$ и убывает на $\left( \frac{1}{3}; +\infty \right)$.

1) $y = \frac{x^3}{x^2 + 3}$

Нужно найти производную функции $y$ и изучить её поведение.

Шаг 1: Нахождение производной

Для того чтобы найти производную функции $y = \frac{x^3}{x^2 + 3}$, используем правило дифференцирования частного (правило Лейбница), которое звучит так:

$$\left( \frac{u(x)}{v(x)} \right)’ = \frac{u'(x) \cdot v(x) — u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}$$

Здесь:

• $u(x) = x^3$,
• $v(x) = x^2 + 3$.

Теперь найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:

• $u'(x) = (x^3)’ = 3x^2$,
• $v'(x) = (x^2 + 3)’ = 2x$.

Подставим эти выражения в правило дифференцирования частного:

$$y'(x) = \frac{3x^2 \cdot (x^2 + 3) — x^3 \cdot 2x}{(x^2 + 3)^2}.$$

Шаг 2: Упрощение производной

Теперь упростим числитель:

$$3x^2 \cdot (x^2 + 3) = 3x^4 + 9x^2,$$ $$x^3 \cdot 2x = 2x^4.$$

Тогда числитель становится:

$$3x^4 + 9x^2 — 2x^4 = x^4 + 9x^2.$$

Таким образом, производная $y'(x)$ равна:

$$y'(x) = \frac{x^4 + 9x^2}{(x^2 + 3)^2}.$$

Шаг 3: Определение области определения

Теперь определим область определения данной функции. Функция имеет смысл, когда знаменатель не равен нулю:

$$x^2 + 3 > 0.$$

Это неравенство выполняется для всех $x$, так как $x^2 \geqslant 0$ для любых $x$, и следовательно, $x^2 + 3 \geqslant 3$. Таким образом, область определения — все $x$ из $\mathbb{R}$.

Шаг 4: Поведение функции

Так как числитель и знаменатель всегда положительны для всех $x$, то функция возрастает на всей области определения, то есть на интервале $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на $(-\infty; +\infty)$.

2) $y = \frac{(x-2)(8-x)}{x^2}$

Шаг 1: Упрощение выражения для функции

Сначала упростим выражение для функции:

$$y = \frac{(x-2)(8-x)}{x^2}.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(x-2)(8-x) = 8x — x^2 — 16 + 2x = -x^2 — 10x + 16.$$

Таким образом, функция $y$ будет:

$$y = \frac{-x^2 — 10x + 16}{x^2}.$$

Шаг 2: Нахождение производной

Теперь найдем производную $y'(x)$ с использованием правила дифференцирования частного:

$$y'(x) = -\frac{(x^2 — 10x + 16)’ \cdot x^2 — (x^2 — 10x + 16) \cdot (x^2)’}{(x^2)^2}.$$

Вычислим производные числителя и знаменателя:

• $(x^2 — 10x + 16)’ = 2x — 10$,
• $(x^2)’ = 2x$.

Теперь подставим эти значения в выражение для производной:

$$y'(x) = -\frac{(2x — 10) \cdot x^2 — (-x^2 — 10x + 16) \cdot 2x}{x^4}.$$

Упростим числитель:

$$(2x — 10) \cdot x^2 = 2x^3 — 10x^2,$$ $$(-x^2 — 10x + 16) \cdot 2x = -2x^3 — 20x^2 + 32x.$$

Тогда числитель:

$$2x^3 — 10x^2 — (-2x^3 — 20x^2 + 32x) = 2x^3 — 10x^2 + 2x^3 + 20x^2 — 32x = 4x^3 + 10x^2 — 32x.$$

Таким образом, производная будет:

$$y'(x) = -\frac{4x^3 + 10x^2 — 32x}{x^4}.$$

Упростим дробь:

$$y'(x) = -\frac{4x(x^2 + \frac{5}{2}x — 8)}{x^4} = -\frac{4(x^2 + 5x — 8)}{x^3}.$$

Шаг 3: Найти интервалы возрастания

Для нахождения интервалов возрастания необходимо решить неравенство $y'(x) > 0$, что эквивалентно:

$$-(4x^2 + 32x) > 0 \quad \text{или} \quad 4x^2 + 32x < 0.$$

Упростим:

$$x \cdot (10x — 32) < 0,$$

Решим это неравенство:

$$0 < x < 3.2.$$

Ответ: возрастает на $(0, 3.2)$, убывает на $(-\infty, 0) \cup (3.2, +\infty)$.

3) $y = (x-1) \cdot e^{3x}$

Шаг 1: Нахождение производной

Для нахождения производной воспользуемся правилом произведения:

$$y'(x) = (x-1)’ \cdot e^{3x} + (x-1) \cdot (e^{3x})’.$$

Так как производная $(x-1)’ = 1$ и производная $e^{3x}$ по $x$ равна $3e^{3x}$, получаем:

$$y'(x) = e^{3x} + (x-1) \cdot 3e^{3x} = e^{3x} \cdot (1 + 3(x — 1)).$$

Упростим:

$$y'(x) = e^{3x} \cdot (3x — 2).$$

Шаг 2: Нахождение интервалов возрастания

Для нахождения интервалов возрастания решим неравенство:

$$3x — 2 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > \frac{2}{3}.$$

Ответ: возрастает на $\left( \frac{2}{3}, +\infty \right)$, убывает на $\left( -\infty, \frac{2}{3} \right)$.

4) $y = x \cdot e^{-3x}$

Шаг 1: Нахождение производной

Воспользуемся правилом произведения:

$$y'(x) = (x)’ \cdot e^{-3x} + x \cdot (e^{-3x})’.$$

Производная от $e^{-3x}$ равна $-3e^{-3x}$, следовательно:

$$y'(x) = e^{-3x} — 3x \cdot e^{-3x} = e^{-3x} \cdot (1 — 3x).$$

Шаг 2: Нахождение интервалов возрастания

Решим неравенство:

$$1 — 3x \geqslant 0 \quad \Rightarrow \quad x \leqslant \frac{1}{3}.$$

Ответ: возрастает на $(-\infty, \frac{1}{3})$, убывает на $(\frac{1}{3}, +\infty)$.