ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 308 Алимов — Подробные Ответы

Дано: log7(2) =m. Найти: log49(28).

Дано: $\log_7 2 = m$;

Найти: $\log_{49} 28$;

Решение:

$$\log_{49} 28 = \frac{\log_7 28}{\log_7 49} = \frac{\log_7 (7 \cdot 4)}{\log_7 7^2} = \frac{\log_7 7 + \log_7 4}{2} = \frac{1 + \log_7 2^2}{2} =$$ $$= \frac{1 + 2 \log_7 2}{2} = \frac{1 + 2m}{2} = \frac{1}{2} + m;$$

Ответ: $\boxed{\frac{1}{2} + m}$.

Дано:

$$\log_7 2 = m$$

Найти:

$$\log_{49} 28$$

Шаг 1: Используем формулу смены основания

Формула смены основания логарифма:

$$\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$$

Применим эту формулу, выбрав основание $c = 7$, потому что $\log_7 2$ уже дано:

$$\log_{49} 28 = \frac{\log_7 28}{\log_7 49}$$

Шаг 2: Упростим числитель — $\log_7 28$

Разложим число 28:

$$28 = 7 \cdot 4 \Rightarrow \log_7 28 = \log_7 (7 \cdot 4)$$

По свойству логарифмов:

$$\log_b (a \cdot c) = \log_b a + \log_b c$$

Применим:

$$\log_7 28 = \log_7 7 + \log_7 4$$ $$\log_7 7 = 1, \quad \text{так как } b^{\log_b b} = b^1 = b$$

Итак:

$$\log_7 28 = 1 + \log_7 4$$

Шаг 3: Упростим $\log_7 4$

Преобразуем 4:

$$4 = 2^2 \Rightarrow \log_7 4 = \log_7 (2^2)$$

По формуле:

$$\log_b (a^n) = n \cdot \log_b a$$

Применим:

$$\log_7 4 = 2 \cdot \log_7 2$$

А по условию:

$$\log_7 2 = m \Rightarrow \log_7 4 = 2m$$

Следовательно:

$$\log_7 28 = 1 + 2m$$

Шаг 4: Упростим знаменатель — $\log_7 49$

Преобразуем 49:

$$49 = 7^2 \Rightarrow \log_7 49 = \log_7 (7^2)$$ $$\log_7 (7^2) = 2 \cdot \log_7 7 = 2 \cdot 1 = 2$$

Шаг 5: Подставим в исходное выражение

$$\log_{49} 28 = \frac{\log_7 28}{\log_7 49} = \frac{1 + 2m}{2}$$

Шаг 6: Разделим дробь

$$\frac{1 + 2m}{2} = \frac{1}{2} + \frac{2m}{2} = \frac{1}{2} + m$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{1}{2} + m}$$